Хорошо, решаем задачу 2.3, вариант 15.
Задача: Через поперечное сечение \(S\) проводящей пластинки толщиной \(d\), длиной \(a\) и высотой \(b\) протекает ток силой \(I\) и плотностью \(\vec{j}\). При помещении пластинки в магнитное поле с индукцией \(\vec{B}\) (см. рис. 2.3) возникают поперечное электрическое поле с напряженностью \(E_x\) и разность потенциалов \(U_x\). Концентрация электронов проводимости в пластинке \(n\) и скорость \(v\). Постоянная Холла \(R_x\). Определить величины, обозначенные знаком вопроса в таблице 2.3.
Данные для варианта 15:
\(a = 5,8\) мм
\(b = 4,7\) мм
\(d = ?\)
\(S = 12\) мм\(^2\)
\(I = ?\)
\(j = 6\) А/м\(^2\)
\(B = 41\) мТл
\(n \cdot 10^{19} = ?\) м\(^{-3}\)
\(v = ?\) см/с
\(R_x \cdot 10^{-2} = ?\) м\(^3\)/Кл
\(U_x = 0,1\) мкВ
\(E_x = 1\) мВ/м
Переведем все известные величины в систему СИ:
\(a = 5,8\) мм \( = 5,8 \cdot 10^{-3}\) м
\(b = 4,7\) мм \( = 4,7 \cdot 10^{-3}\) м
\(S = 12\) мм\(^2\) \( = 12 \cdot 10^{-6}\) м\(^2\)
\(j = 6\) А/м\(^2\)
\(B = 41\) мТл \( = 41 \cdot 10^{-3}\) Тл
\(U_x = 0,1\) мкВ \( = 0,1 \cdot 10^{-6}\) В \( = 1 \cdot 10^{-7}\) В
\(E_x = 1\) мВ/м \( = 1 \cdot 10^{-3}\) В/м
Найдем неизвестные величины.
1. Найдём толщину \(d\).
Площадь поперечного сечения \(S\) связана с размерами пластинки \(b\) и \(d\) как \(S = b \cdot d\).
Отсюда \(d = \frac{S}{b}\).
\(d = \frac{12 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2}{4,7 \cdot 10^{-3} \text{ м}} \approx 2,55 \cdot 10^{-3}\) м \( = 2,55\) мм.
2. Найдём силу тока \(I\).
Плотность тока \(j\) связана с силой тока \(I\) и площадью поперечного сечения \(S\) как \(j = \frac{I}{S}\).
Отсюда \(I = j \cdot S\).
\(I = 6 \text{ А/м}^2 \cdot 12 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2 = 72 \cdot 10^{-6}\) А \( = 0,072\) мА.
3. Найдём постоянную Холла \(R_x\).
Постоянная Холла \(R_x\) связана с напряженностью электрического поля Холла \(E_x\), индукцией магнитного поля \(B\) и плотностью тока \(j\) формулой:
\(E_x = R_x \cdot j \cdot B\).
Отсюда \(R_x = \frac{E_x}{j \cdot B}\).
\(R_x = \frac{1 \cdot 10^{-3} \text{ В/м}}{6 \text{ А/м}^2 \cdot 41 \cdot 10^{-3} \text{ Тл}} = \frac{1 \cdot 10^{-3}}{246 \cdot 10^{-3}} = \frac{1}{246} \approx 0,004065\) м\(^3\)/Кл.
В таблице \(R_x\) дано в формате \(R_x \cdot 10^{-2}\).
\(R_x \cdot 10^{-2} = 0,004065 \cdot 10^{-2} = 0,4065\).
4. Найдём концентрацию электронов \(n\).
Постоянная Холла \(R_x\) также связана с концентрацией носителей заряда \(n\) и элементарным зарядом \(e\) формулой:
\(R_x = \frac{1}{n \cdot e}\), где \(e = 1,602 \cdot 10^{-19}\) Кл.
Отсюда \(n = \frac{1}{R_x \cdot e}\).
\(n = \frac{1}{0,004065 \text{ м}^3/\text{Кл} \cdot 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}} = \frac{1}{6,512 \cdot 10^{-22}} \approx 1,535 \cdot 10^{21}\) м\(^{-3}\).
В таблице \(n\) дано в формате \(n \cdot 10^{19}\).
\(n \cdot 10^{19} = 1,535 \cdot 10^{21} / 10^{19} = 1,535 \cdot 10^2 = 153,5\).
5. Найдём скорость дрейфа электронов \(v\).
Плотность тока \(j\) связана с концентрацией носителей заряда \(n\), элементарным зарядом \(e\) и скоростью дрейфа \(v\) формулой:
\(j = n \cdot e \cdot v\).
Отсюда \(v = \frac{j}{n \cdot e}\).
\(v = \frac{6 \text{ А/м}^2}{1,535 \cdot 10^{21} \text{ м}^{-3} \cdot 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}} = \frac{6}{245,997} \approx 0,02439\) м/с.
В таблице \(v\) дано в см/с.
\(v = 0,02439 \text{ м/с} \cdot 100 \text{ см/м} \approx 2,44\) см/с.
Проверим разность потенциалов \(U_x\).
Разность потенциалов Холла \(U_x\) связана с напряженностью поля Холла \(E_x\) и шириной пластинки \(a\) (поперек которой возникает поле Холла) формулой:
\(U_x = E_x \cdot a\).
\(U_x = 1 \cdot 10^{-3} \text{ В/м} \cdot 5,8 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 5,8 \cdot 10^{-6}\) В \( = 5,8\) мкВ.
В таблице дано \(U_x = 0,1\) мкВ. Это расхождение. Возможно, в задаче \(U_x\) и \(E_x\) даны как независимые величины, или же \(U_x\) относится к другой ширине. Однако, по условию, \(E_x\) и \(U_x\) - это поперечное электрическое поле и разность потенциалов. Обычно \(U_x = E_x \cdot a\). Если принять \(U_x = 0,1\) мкВ как данное, то \(E_x\) должно быть \(E_x = U_x / a = 0,1 \cdot 10^{-6} \text{ В} / (5,8 \cdot 10^{-3} \text{ м}) \approx 1,72 \cdot 10^{-5}\) В/м. Это сильно отличается от \(1\) мВ/м.
Предположим, что \(E_x = 1\) мВ/м является правильным, а \(U_x\) нужно найти. Тогда \(U_x = E_x \cdot a = 1 \cdot 10^{-3} \text{ В/м} \cdot 5,8 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 5,8 \cdot 10^{-6}\) В \( = 5,8\) мкВ.
Если же \(U_x = 0,1\) мкВ является правильным, а \(E_x\) нужно найти. Тогда \(E_x = U_x / a = 0,1 \cdot 10^{-6} \text{ В} / (5,8 \cdot 10^{-3} \text{ м}) \approx 1,72 \cdot 10^{-5}\) В/м.
В таблице \(U_x\) и \(E_x\) даны как известные величины. Это противоречие в исходных данных.
Будем считать, что \(E_x\) и \(U_x\) даны независимо, и использовать их для расчетов, если они не зависят друг от друга. Однако, в физике они связаны.
Если бы \(U_x\) было неизвестно, мы бы его нашли как \(E_x \cdot a\). Если бы \(E_x\) было неизвестно, мы бы его нашли как \(U_x / a\).
Поскольку в таблице \(U_x\) и \(E_x\) даны, и они не согласуются, я буду использовать \(E_x = 1\) мВ/м для расчета \(R_x\) и \(n\), как это было сделано выше.
Если бы нужно было найти \(U_x\), то ответ был бы \(5,8\) мкВ. Если бы нужно было найти \(E_x\), то ответ был бы \(1,72 \cdot 10^{-5}\) В/м.
В данном случае, в таблице для 15 варианта \(U_x = 0,1\) мкВ и \(E_x = 1\) мВ/м. Знаков вопроса нет. Это означает, что эти значения даны.
Я пересчитал \(R_x\) и \(n\) исходя из \(E_x = 1\) мВ/м.
Окончательные результаты для варианта 15:
\(d = 2,55\) мм
\(I = 0,072\) мА
\(R_x \cdot 10^{-2} = 0,4065\) м\(^3\)/Кл
\(n \cdot 10^{19} = 153,5\) м\(^{-3}\)
\(v = 2,44\) см/с
Запишем в тетрадь:
Решение задачи 2.3, вариант 15
Дано:
- Длина пластинки \(a = 5,8\) мм \( = 5,8 \cdot 10^{-3}\) м
- Высота пластинки \(b = 4,7\) мм \( = 4,7 \cdot 10^{-3}\) м
- Площадь поперечного сечения \(S = 12\) мм\(^2\) \( = 12 \cdot 10^{-6}\) м\(^2\)
- Плотность тока \(j = 6\) А/м\(^2\)
- Индукция магнитного поля \(B = 41\) мТл \( = 41 \cdot 10^{-3}\) Тл
- Напряженность электрического поля Холла \(E_x = 1\) мВ/м \( = 1 \cdot 10^{-3}\) В/м
- Элементарный заряд \(e = 1,602 \cdot 10^{-19}\) Кл
Найти:
- Толщина \(d\)
- Сила тока \(I\)
- Постоянная Холла \(R_x\)
- Концентрация электронов \(n\)
- Скорость дрейфа \(v\)
Решение:
1. Найдём толщину \(d\).
Площадь поперечного сечения \(S\) связана с высотой \(b\) и толщиной \(d\) формулой:
\[S = b \cdot d\]
Выразим \(d\):
\[d = \frac{S}{b}\]
Подставим значения:
\[d = \frac{12 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2}{4,7 \cdot 10^{-3} \text{ м}} \approx 2,55 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 2,55 \text{ мм}\]
2. Найдём силу тока \(I\).
Плотность тока \(j\) связана с силой тока \(I\) и площадью поперечного сечения \(S\) формулой:
\[j = \frac{I}{S}\]
Выразим \(I\):
\[I = j \cdot S\]
Подставим значения:
\[I = 6 \text{ А/м}^2 \cdot 12 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2 = 72 \cdot 10^{-6} \text{ А} = 0,072 \text{ мА}\]
3. Найдём постоянную Холла \(R_x\).
Напряженность электрического поля Холла \(E_x\) связана с постоянной Холла \(R_x\), плотностью тока \(j\) и индукцией магнитного поля \(B\) формулой:
\[E_x = R_x \cdot j \cdot B\]
Выразим \(R_x\):
\[R_x = \frac{E_x}{j \cdot B}\]
Подставим значения:
\[R_x = \frac{1 \cdot 10^{-3} \text{ В/м}}{6 \text{ А/м}^2 \cdot 41 \cdot 10^{-3} \text{ Тл}} = \frac{1 \cdot 10^{-3}}{246 \cdot 10^{-3}} \approx 0,004065 \text{ м}^3/\text{Кл}\]
В формате таблицы \(R_x \cdot 10^{-2}\):
\[R_x \cdot 10^{-2} = 0,004065 \cdot 10^{-2} = 0,4065\]
4. Найдём концентрацию электронов \(n\).
Постоянная Холла \(R_x\) связана с концентрацией носителей заряда \(n\) и элементарным зарядом \(e\) формулой:
\[R_x = \frac{1}{n \cdot e}\]
Выразим \(n\):
\[n = \frac{1}{R_x \cdot e}\]
Подставим значения:
\[n = \frac{1}{0,004065 \text{ м}^3/\text{Кл} \cdot 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}} \approx 1,535 \cdot 10^{21} \text{ м}^{-3}\]
В формате таблицы \(n \cdot 10^{19}\):
\[n \cdot 10^{19} = \frac{1,535 \cdot 10^{21}}{10^{19}} = 1,535 \cdot 10^2 = 153,5\]
5. Найдём скорость дрейфа электронов \(v\).
Плотность тока \(j\) связана с концентрацией носителей заряда \(n\), элементарным зарядом \(e\) и скоростью дрейфа \(v\) формулой:
\[j = n \cdot e \cdot v\]
Выразим \(v\):
\[v = \frac{j}{n \cdot e}\]
Подставим значения:
\[v = \frac{6 \text{ А/м}^2}{1,535 \cdot 10^{21} \text{ м}^{-3} \cdot 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}} \approx 0,02439 \text{ м/с}\]
Переведем в см/с:
\[v = 0,02439 \text{ м/с} \cdot 100 \text{ см/м} \approx
