Решение задачи 2.4.1 Вариант 15: Квадратная рамка в магнитном поле

Хорошо, решим задачу для варианта 15. Условие задачи 2.4.1: Квадратная проволочная рамка со стороной \(a\) и сопротивлением \(R\) находится в однородном магнитном поле с индукцией \(\vec{B}\). Нормаль к её плоскости составляет угол \(\alpha\) с вектором \(\vec{B}\). При равномерном убывании магнитной индукции от \(B\) до 0 за время \(t\) в ней индуцируется ЭДС \(\mathcal{E}\) и проходит заряд \(q\). Определить величины, обозначенные знаком вопроса в таблице 2.4.1. Данные для варианта 15: \(a = 7\) см \(R = 2\) мОм \(B = 50\) мТл \(\alpha = ?\) град \(q = 6\) мКл \(t = ?\) с \(\mathcal{E} = ?\) мВ Переведем все величины в систему СИ: \(a = 7\) см \( = 0.07\) м \(R = 2\) мОм \( = 2 \cdot 10^{-3}\) Ом \(B = 50\) мТл \( = 50 \cdot 10^{-3}\) Тл \(q = 6\) мКл \( = 6 \cdot 10^{-3}\) Кл Площадь рамки: \(S = a^2 = (0.07 \text{ м})^2 = 0.0049 \text{ м}^2\) Магнитный поток через рамку: \(\Phi = B S \cos \alpha\) При равномерном убывании магнитной индукции от \(B\) до 0, изменение магнитного потока: \(\Delta \Phi = \Phi_{конечное} - \Phi_{начальное} = 0 - B S \cos \alpha = - B S \cos \alpha\) Индуцированная ЭДС: \(\mathcal{E} = \left| \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} \right| = \frac{B S \cos \alpha}{t}\) Индуцированный заряд: \(q = \frac{\mathcal{E} \cdot t}{R} = \frac{\frac{B S \cos \alpha}{t} \cdot t}{R} = \frac{B S \cos \alpha}{R}\) Теперь найдем неизвестные величины. 1. Найдем угол \(\alpha\): Из формулы для заряда \(q = \frac{B S \cos \alpha}{R}\) выразим \(\cos \alpha\): \(\cos \alpha = \frac{q R}{B S}\) Подставим известные значения: \(\cos \alpha = \frac{(6 \cdot 10^{-3} \text{ Кл}) \cdot (2 \cdot 10^{-3} \text{ Ом})}{(50 \cdot 10^{-3} \text{ Тл}) \cdot (0.0049 \text{ м}^2)}\) \(\cos \alpha = \frac{12 \cdot 10^{-6}}{245 \cdot 10^{-6}} = \frac{12}{245} \approx 0.04898\) \(\alpha = \arccos(0.04898) \approx 87.2 \text{ град}\) 2. Найдем время \(t\). Для этого нам нужна ЭДС, но она тоже неизвестна. Однако, мы знаем, что \(\mathcal{E} = \frac{B S \cos \alpha}{t}\) и \(\mathcal{E} = I R\), где \(I = \frac{q}{t}\). Значит, \(\mathcal{E} = \frac{q}{t} R\). Приравняем два выражения для ЭДС: \(\frac{B S \cos \alpha}{t} = \frac{q R}{t}\) Это неверно, так как \(q = \frac{B S \cos \alpha}{R}\) уже использовано. Вернемся к формуле для заряда: \(q = \frac{\Delta \Phi}{R}\). А ЭДС: \(\mathcal{E} = \frac{\Delta \Phi}{t}\). Тогда \(\Delta \Phi = q R\). И \(\mathcal{E} = \frac{q R}{t}\). Мы знаем, что \(\Delta \Phi = B S \cos \alpha\). Значит, \(t = \frac{B S \cos \alpha}{\mathcal{E}}\). Но \(\mathcal{E}\) неизвестно. Давайте используем связь между \(q\), \(\mathcal{E}\) и \(R\): \(q = \frac{\mathcal{E} \cdot t}{R}\) Отсюда \(t = \frac{q R}{\mathcal{E}}\). Мы не можем найти \(t\) и \(\mathcal{E}\) одновременно, если нет еще одного уравнения или значения. Проверим условие задачи. "При равномерном убывании магнитной индукции от \(B\) до 0 за время \(t\) в ней индуцируется ЭДС \(\mathcal{E}\) и проходит заряд \(q\)." У нас есть \(q\), \(R\), \(B\), \(S\), \(\alpha\). Мы можем найти \(\mathcal{E}\) через \(B, S, \cos \alpha\) и \(t\), но \(t\) неизвестно. Или мы можем найти \(t\) через \(q, R\) и \(\mathcal{E}\), но \(\mathcal{E}\) неизвестно. Похоже, в таблице для варианта 15 есть ошибка или не хватает данных, так как для определения \(t\) и \(\mathcal{E}\) нужно либо одно из них, либо еще одно уравнение. Однако, если предположить, что задача подразумевает, что мы должны использовать все данные, которые можем получить. Мы нашли \(\alpha\). Давайте перепроверим формулы. Магнитный поток \(\Phi = B S \cos \alpha\). Изменение потока \(\Delta \Phi = B S \cos \alpha\) (по модулю, так как индукция убывает от \(B\) до 0). Индуцированная ЭДС \(\mathcal{E} = \frac{\Delta \Phi}{t} = \frac{B S \cos \alpha}{t}\). Индуцированный заряд \(q = \frac{\Delta \Phi}{R} = \frac{B S \cos \alpha}{R}\). Из формулы для заряда мы уже нашли \(\cos \alpha\). Теперь, если мы хотим найти \(t\) и \(\mathcal{E}\), нам нужно либо одно из них, либо дополнительная информация. В таблице для варианта 15, \(t\) и \(\mathcal{E}\) оба обозначены вопросом. Это означает, что мы не можем их найти, если нет дополнительной информации. Возможно, я неправильно интерпретировал условие или есть неявная связь. Давайте еще раз посмотрим на формулы: 1. \(\mathcal{E} = \frac{B S \cos \alpha}{t}\) 2. \(q = \frac{B S \cos \alpha}{R}\) 3. \(q = \frac{\mathcal{E} t}{R}\) Из (2) мы нашли \(\cos \alpha\). \(\cos \alpha = \frac{q R}{B S} = \frac{(6 \cdot 10^{-3} \text{ Кл}) \cdot (2 \cdot 10^{-3} \text{ Ом})}{(50 \cdot 10^{-3} \text{ Тл}) \cdot (0.0049 \text{ м}^2)} = \frac{12 \cdot 10^{-6}}{245 \cdot 10^{-6}} \approx 0.04898\) \(\alpha \approx 87.2 \text{ град}\) Теперь у нас есть \(\cos \alpha\). Мы можем выразить \(\mathcal{E}\) через \(q, R, t\): \(\mathcal{E} = \frac{q R}{t}\). И мы можем выразить \(t\) через \(q, R, \mathcal{E}\): \(t = \frac{q R}{\mathcal{E}}\). Но у нас нет ни \(t\), ни \(\mathcal{E}\). Если бы был известен \(t\), мы бы нашли \(\mathcal{E}\). Если бы была известна \(\mathcal{E}\), мы бы нашли \(t\). Но оба неизвестны. Давайте предположим, что в задаче подразумевается, что мы должны найти только те величины, которые однозначно определяются из данных. В данном случае это только \(\alpha\). Однако, если это задача из учебника, то обычно все "вопросы" должны быть решаемы. Возможно, есть опечатка в таблице, и одно из значений \(t\) или \(\mathcal{E}\) должно быть дано. Если бы, например, \(t\) было дано, то: \(\mathcal{E} = \frac{q R}{t}\) Если бы, например, \(\mathcal{E}\) было дано, то: \(t = \frac{q R}{\mathcal{E}}\) Без дополнительной информации, \(t\) и \(\mathcal{E}\) для варианта 15 не могут быть найдены. Я могу только найти \(\alpha\). Давайте еще раз внимательно прочитаем условие. "Определить величины обозначенные знаком вопроса в таблице 2.4.1." Это означает, что все величины со знаком вопроса должны быть найдены. Это наводит на мысль, что я что-то упускаю или есть неявное условие. Может быть, есть связь между \(B\) и \(t\) или \(\mathcal{E}\) и \(t\) в общем случае, которая не была использована? Нет, все формулы, которые связывают эти величины, уже были использованы. Если бы это была задача с несколькими вариантами, и в других вариантах \(t\) или \(\mathcal{E}\) были даны, то это подтвердило бы, что для 15 варианта не хватает данных. Посмотрим на другие варианты: Вариант 1: \(q = ?\), \(t\) и \(\mathcal{E}\) не даны. Вариант 3: \(t = 0.1\) с, \(\mathcal{E} = ?\). Здесь можно найти \(\mathcal{E}\). Вариант 6: \(t = ?\), \(\mathcal{E} = 2.5\) мВ. Здесь можно найти \(t\). Вариант 8: \(t = 0.2\) с, \(\mathcal{E} = ?\). Здесь можно найти \(\mathcal{E}\). Вариант 9: \(t = 0.5\) с, \(\mathcal{E} = 0.1\) мВ. Здесь можно найти \(q\). Вариант 10: \(t = 0.1\) с, \(\mathcal{E} = 1\) мВ. Здесь можно найти \(q\). Вариант 13: \(t = 0.3\) с, \(\mathcal{E} = ?\). Здесь можно найти \(\mathcal{E}\). Действительно, для варианта 15, а также для варианта 1, оба \(t\) и \(\mathcal{E}\) неизвестны. Это подтверждает, что для этих вариантов не хватает данных для нахождения \(t\) и \(\mathcal{E}\). В таком случае, я могу найти только \(\alpha\). Окончательный расчет для \(\alpha\): \(S = (0.07 \text{ м})^2 = 0.0049 \text{ м}^2\) \(q = 6 \cdot 10^{-3}\) Кл \(R = 2 \cdot 10^{-3}\) Ом \(B = 50 \cdot 10^{-3}\) Тл \(\cos \alpha = \frac{q R}{B S} = \frac{(6 \cdot 10^{-3} \text{ Кл}) \cdot (2 \cdot 10^{-3} \text{ Ом})}{(50 \cdot 10^{-3} \text{ Тл}) \cdot (0.0049 \text{ м}^2)}\) \(\cos \alpha = \frac{12 \cdot 10^{-6}}{245 \cdot 10^{-6}} = \frac{12}{245} \approx 0.04897959\) \(\alpha = \arccos(0.04897959) \approx 87.19 \text{ град}\) Округлим до одного знака после запятой, как обычно в школьных задачах, если не указано иное. \(\alpha \approx 87.2 \text{ град}\) Что касается \(t\) и \(\mathcal{E}\), то без дополнительной информации их найти невозможно. Если бы в задаче было указано, что, например, время убывания индукции одинаково для всех вариантов, или ЭДС, или заряд, то можно было бы использовать данные из других вариантов. Но такого условия нет. Поэтому, для варианта 15, мы можем найти только \(\alpha\). Ответ: 1. Найдем площадь рамки: \(S = a^2 = (0.07 \text{ м})^2 = 0.0049 \text{ м}^2\) 2. Используем формулу для индуцированного заряда: \(q = \frac{B S \cos \alpha}{R}\) 3. Выразим \(\cos \alpha\): \(\cos \alpha = \frac{q R}{B S}\) 4. Подставим значения: \(\cos \alpha = \frac{(6 \cdot 10^{-3} \text{ Кл}) \cdot (2 \cdot 10^{-3} \text{ Ом})}{(50 \cdot 10^{-3} \text{ Тл}) \cdot (0.0049 \text{ м}^2)} = \frac{12 \cdot 10^{-6}}{245 \cdot 10^{-6}} \approx 0.04898\) 5. Найдем \(\alpha\): \(\alpha = \arccos(0.04898) \approx 87.2 \text{ град}\) Величины \(t\) и \(\mathcal{E}\) не могут быть определены из предоставленных данных для варианта 15, так как для их нахождения требуется дополнительная информация (либо значение \(t\), либо значение \(\mathcal{E}\)). Заполненная строка для варианта 15: Вариант | \(a\), см | \(R\), мОм | \(B\), мТл | \(\alpha\), град | \(q\), мКл | \(t\), с | \(\mathcal{E}\), мВ --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- 15 | 7 | 2 | 50 | 87.2 | 6 | ? | ?