Хорошо, давайте решим 15 вариант задачи.
Задача 2.3.
Через поперечное сечение \(S\) проводящей пластинки толщиной \(d\), длиной \(a\) и высотой \(b\) протекает ток силой \(I\) и плотностью \(\vec{j}\). При помещении пластинки в магнитное поле с индукцией \(\vec{B}\) (см. рис. 2.3) возникают поперечное электрическое поле с напряженностью \(E_x\) и разность потенциалов \(U_x\). Концентрация электронов проводимости в пластинке \(n\) и скорость \(v\). Постоянная Холла \(R_x\). Определить величины, обозначенные знаком вопроса в таблице 2.3.
Дано (Вариант 15):
\(a = 5,8\) мм \( = 5,8 \cdot 10^{-3}\) м
\(b = 4,7\) мм \( = 4,7 \cdot 10^{-3}\) м
\(S = 12\) мм\(^2\) \( = 12 \cdot 10^{-6}\) м\(^2\)
\(I = ?\) мА
\(j = ?\) А/м\(^2\)
\(B = 41\) мТл \( = 41 \cdot 10^{-3}\) Тл
\(n \cdot 10^{19} = ?\) м\(^{-3}\)
\(v = ?\) см/с
\(R_x \cdot 10^{-2} = 21\) м\(^3\)/Кл \( \Rightarrow R_x = 21 \cdot 10^{-2}\) м\(^3\)/Кл
\(U_x = 0,1\) мкВ \( = 0,1 \cdot 10^{-6}\) В
\(E_x = 1\) мВ/м \( = 1 \cdot 10^{-3}\) В/м
Найти:
\(I\), \(j\), \(n\), \(v\).
Решение:
1. Найдем ток \(I\).
Мы знаем, что напряженность электрического поля Холла \(E_x\) связана с разностью потенциалов Холла \(U_x\) и высотой пластинки \(b\) по формуле:
\[E_x = \frac{U_x}{b}\]
Из этой формулы можно выразить \(U_x\), но нам даны \(U_x\) и \(E_x\), и мы можем проверить их согласованность или найти \(b\), если бы оно было неизвестно. В данном случае, \(b\) дано.
\[E_x = \frac{0,1 \cdot 10^{-6} \text{ В}}{4,7 \cdot 10^{-3} \text{ м}} \approx 0,021 \cdot 10^{-3} \text{ В/м} = 0,021 \text{ мВ/м}\]
Это значение не совпадает с данным \(E_x = 1\) мВ/м. Вероятно, в таблице есть опечатка или \(E_x\) и \(U_x\) относятся к разным измерениям. Будем использовать формулы, которые связывают все величины.
Постоянная Холла \(R_x\) связана с напряженностью поля Холла \(E_x\), плотностью тока \(j\) и индукцией магнитного поля \(B\) по формуле:
\[R_x = \frac{E_x}{jB}\]
Отсюда можно найти плотность тока \(j\):
\[j = \frac{E_x}{R_x B}\]
Подставим известные значения:
\[j = \frac{1 \cdot 10^{-3} \text{ В/м}}{(21 \cdot 10^{-2} \text{ м}^3/\text{Кл}) \cdot (41 \cdot 10^{-3} \text{ Тл})}\]
\[j = \frac{1 \cdot 10^{-3}}{21 \cdot 41 \cdot 10^{-5}} = \frac{1 \cdot 10^{-3}}{861 \cdot 10^{-5}} = \frac{1}{861} \cdot 10^2 \approx 0,00116 \cdot 100 \approx 0,116 \text{ А/м}^2\]
Теперь, зная плотность тока \(j\) и площадь поперечного сечения \(S\), найдем силу тока \(I\):
\[I = j \cdot S\]
\[I = 0,116 \text{ А/м}^2 \cdot (12 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2)\]
\[I = 1,392 \cdot 10^{-6} \text{ А} = 1,392 \text{ мкА}\]
В таблице ток \(I\) указан в мА, поэтому переведем:
\[I = 1,392 \cdot 10^{-3} \text{ мА}\]
Это очень маленькое значение, возможно, в таблице подразумевается другое значение \(E_x\) или \(U_x\). Давайте пересчитаем, используя \(U_x\) и \(b\) для нахождения \(E_x\), если это более корректно.
Если \(E_x = U_x / b\):
\[E_x = \frac{0,1 \cdot 10^{-6} \text{ В}}{4,7 \cdot 10^{-3} \text{ м}} \approx 0,02127 \cdot 10^{-3} \text{ В/м} \approx 0,021 \text{ мВ/м}\]
Тогда:
\[j = \frac{0,02127 \cdot 10^{-3} \text{ В/м}}{(21 \cdot 10^{-2} \text{ м}^3/\text{Кл}) \cdot (41 \cdot 10^{-3} \text{ Тл})} \approx \frac{0,02127 \cdot 10^{-3}}{861 \cdot 10^{-5}} \approx 0,0000247 \cdot 10^2 \approx 0,00247 \text{ А/м}^2\]
\[I = 0,00247 \text{ А/м}^2 \cdot (12 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2) \approx 0,02964 \cdot 10^{-6} \text{ А} \approx 0,02964 \text{ мкА}\]
Это еще меньше.
Предположим, что \(E_x = 1\) мВ/м является правильным значением для расчета, а \(U_x\) дано для проверки или является результатом другого измерения. Будем придерживаться \(E_x = 1\) мВ/м.
Итак, \(I = 1,392 \cdot 10^{-3}\) мА.
\(j = 0,116\) А/м\(^2\).
2. Найдем концентрацию электронов \(n\).
Постоянная Холла \(R_x\) также связана с концентрацией носителей заряда \(n\) и элементарным зарядом \(e\) по формуле:
\[R_x = \frac{1}{ne}\]
Отсюда выразим \(n\):
\[n = \frac{1}{R_x e}\]
Элементарный заряд \(e = 1,602 \cdot 10^{-19}\) Кл.
\[n = \frac{1}{(21 \cdot 10^{-2} \text{ м}^3/\text{Кл}) \cdot (1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Кл})}\]
\[n = \frac{1}{21 \cdot 1,602 \cdot 10^{-21}} = \frac{1}{33,642 \cdot 10^{-21}} \approx 0,0297 \cdot 10^{21} \text{ м}^{-3}\]
\[n \approx 2,97 \cdot 10^{19} \text{ м}^{-3}\]
В таблице требуется \(n \cdot 10^{19}\), поэтому:
\(n \cdot 10^{19} = 2,97\).
3. Найдем скорость дрейфа электронов \(v\).
Плотность тока \(j\) связана с концентрацией носителей заряда \(n\), элементарным зарядом \(e\) и скоростью дрейфа \(v\) по формуле:
\[j = nev\]
Отсюда выразим \(v\):
\[v = \frac{j}{ne}\]
\[v = \frac{0,116 \text{ А/м}^2}{(2,97 \cdot 10^{19} \text{ м}^{-3}) \cdot (1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Кл})}\]
\[v = \frac{0,116}{2,97 \cdot 1,602} = \frac{0,116}{4,75794} \approx 0,02438 \text{ м/с}\]
Переведем скорость в см/с:
\[v = 0,02438 \text{ м/с} \cdot 100 \text{ см/м} \approx 2,438 \text{ см/с}\]
Ответы:
\(I \approx 1,392 \cdot 10^{-3}\) мА
\(j \approx 0,116\) А/м\(^2\)
\(n \cdot 10^{19} \approx 2,97\) м\(^{-3}\)
\(v \approx 2,44\) см/с
Итоговая таблица для варианта 15:
| Вариант | \(a\), мм | \(b\), мм | \(d\), мм | \(S\), мм\(^2\) | \(I\), мА | \(j\), А/м\(^2\) | \(B\), мТл | \(n \cdot 10^{19}\), м\(^{-3}\) | \(v\), см/с | \(R_x \cdot 10^{-2}\), м\(^3\)/Кл | \(U_x\), мкВ | \(E_x\), мВ/м |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 15 | 5,8 | 4,7 | ? | 12 | **0,00139** | **0,116** | 41 | **2,97** | **2,44** | 21 | 0,1 | 1 |
Обратите внимание, что из-за расхождения между \(U_x\) и \(E_x\) в условии, я использовал \(E_x = 1\) мВ/м для расчетов, так как это более прямо связано с формулой Холла. Если бы требовалось использовать \(U_x\) для определения \(E_x\), то результаты были бы другими. В школьных задачах обычно предполагается, что данные согласованы.
