Решение задачи 2.2 Вариант 15: Движение заряженной частицы в конденсаторе

Решение задачи 2.2, вариант 15.
Условие задачи: Пластины плоского конденсатора, заряженного до напряжения \(U\), расположены горизонтально. Длина пластин равна \(l\), расстояние между ними — \(d\). В конденсатор параллельно пластинам влетает со скоростью \(v_0\) ускоренная разностью потенциалов \(\Delta\varphi\) из состояния покоя заряженная частица массой \(m\) и зарядом \(q\). Частица вылетает из конденсатора со скоростью \(v\), направленной под углом \(\alpha\) к горизонту, и затем попадает в точку \(A\) на экране Э, расположенном на расстоянии \(b\). Расстояние между точками \(O\) и \(A\) равно \(y\). Определить величины, обозначенные знаком вопроса в таблице 2.2. Решение сопроводить рисунком.
Данные для варианта 15: \(m = 150 \cdot 10^{-6}\) кг \(q = 33\) нКл \( = 33 \cdot 10^{-9}\) Кл \(\Delta\varphi = ?\) \(v_0 = 249\) мм/с \( = 0.249\) м/с \(d = 33\) мм \( = 0.033\) м \(l = 15\) см \( = 0.15\) м \(U = 15\) В \(b = 16\) см \( = 0.16\) м \(y = 28\) мм \( = 0.028\) м \(\alpha = ?\) \(v = ?\)
Рисунок: (Предполагается, что рисунок аналогичен представленному в условии задачи, где частица влетает в конденсатор, отклоняется в электрическом поле, вылетает под углом и по параболической траектории достигает экрана.)
Решение: 1. Найдём разность потенциалов \(\Delta\varphi\). По закону сохранения энергии, кинетическая энергия, приобретенная частицей, равна работе электрического поля: \[\frac{m v_0^2}{2} = q \Delta\varphi\] Отсюда: \[\Delta\varphi = \frac{m v_0^2}{2q}\] Подставляем значения: \[\Delta\varphi = \frac{150 \cdot 10^{-6} \text{ кг} \cdot (0.249 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 33 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}}\] \[\Delta\varphi = \frac{150 \cdot 10^{-6} \cdot 0.062001}{66 \cdot 10^{-9}} = \frac{9.30015 \cdot 10^{-6}}{66 \cdot 10^{-9}} \approx 140.91 \text{ В}\] Округлим до целых: \(\Delta\varphi \approx 141\) В. 2. Определим напряженность электрического поля в конденсаторе: \[E = \frac{U}{d}\] \[E = \frac{15 \text{ В}}{0.033 \text{ м}} \approx 454.55 \text{ В/м}\] 3. Определим ускорение частицы в конденсаторе (предполагаем, что поле направлено так, чтобы частица отклонялась): \[a = \frac{F}{m} = \frac{qE}{m}\] \[a = \frac{33 \cdot 10^{-9} \text{ Кл} \cdot 454.55 \text{ В/м}}{150 \cdot 10^{-6} \text{ кг}} = \frac{1.49999 \cdot 10^{-5}}{150 \cdot 10^{-6}} \approx 0.09999 \text{ м/с}^2 \approx 0.1 \text{ м/с}^2\] 4. Время движения частицы в конденсаторе: Горизонтальная скорость частицы внутри конденсатора остается постоянной и равна \(v_0\). \[t_1 = \frac{l}{v_0}\] \[t_1 = \frac{0.15 \text{ м}}{0.249 \text{ м/с}} \approx 0.6024 \text{ с}\] 5. Вертикальная скорость частицы при вылете из конденсатора: \[v_y = a t_1\] \[v_y = 0.1 \text{ м/с}^2 \cdot 0.6024 \text{ с} \approx 0.06024 \text{ м/с}\] 6. Скорость частицы \(v\) при вылете из конденсатора: \[v = \sqrt{v_0^2 + v_y^2}\] \[v = \sqrt{(0.249 \text{ м/с})^2 + (0.06024 \text{ м/с})^2}\] \[v = \sqrt{0.062001 + 0.0036288} = \sqrt{0.0656298} \approx 0.2562 \text{ м/с}\] Округлим до двух знаков после запятой: \(v \approx 0.26\) м/с. 7. Угол \(\alpha\) вылета частицы из конденсатора: \[\tan \alpha = \frac{v_y}{v_0}\] \[\tan \alpha = \frac{0.06024 \text{ м/с}}{0.249 \text{ м/с}} \approx 0.2419\] \[\alpha = \arctan(0.2419) \approx 13.59^\circ\] Округлим до целых: \(\alpha \approx 14^\circ\). 8. Проверим значение \(y\). Вертикальное смещение частицы в конденсаторе: \[y_1 = \frac{1}{2} a t_1^2\] \[y_1 = \frac{1}{2} \cdot 0.1 \text{ м/с}^2 \cdot (0.6024 \text{ с})^2 = 0.05 \cdot 0.36288 \approx 0.01814 \text{ м}\] Время движения частицы от конденсатора до экрана: Горизонтальная скорость \(v_x = v_0\) остается постоянной. \[t_2 = \frac{b}{v_0}\] \[t_2 = \frac{0.16 \text{ м}}{0.249 \text{ м/с}} \approx 0.6426 \text{ с}\] Вертикальное смещение частицы от конденсатора до экрана (под действием силы тяжести, если она учитывается, но в данной задаче обычно пренебрегают силой тяжести, если не указано иное, и рассматривают только электрическое поле): Если пренебречь силой тяжести, то вертикальное смещение на участке \(b\) будет: \[y_2 = v_y t_2\] \[y_2 = 0.06024 \text{ м/с} \cdot 0.6426 \text{ с} \approx 0.03871 \text{ м}\] Общее вертикальное смещение \(y\) на экране: \[y = y_1 + y_2\] \[y = 0.01814 \text{ м} + 0.03871 \text{ м} = 0.05685 \text{ м} \approx 56.85 \text{ мм}\] По условию \(y = 28\) мм. Это означает, что либо сила тяжести учитывается и направлена против отклонения, либо расчеты должны быть более точными, либо есть ошибка в условии. Предположим, что \(y\) дано для проверки и наши расчеты должны быть согласованы с ним. Однако, если мы рассчитали \(y\) и оно не совпадает с табличным, то это может быть связано с округлениями или тем, что в таблице дано значение, которое нужно получить, а не проверить. В рамках данной задачи, если не указано иное, обычно пренебрегают силой тяжести. Если бы сила тяжести учитывалась, то ускорение по вертикали после конденсатора было бы \(-g\). Давайте пересчитаем \(y\) с учетом того, что \(y\) в таблице - это заданное значение, а не то, что нужно найти. Если \(y = 28\) мм, то это означает, что либо наши расчеты неверны, либо в задаче есть нюанс. Давайте еще раз проверим расчеты. Если \(y\) - это заданное значение, то оно должно быть результатом движения. Возможно, в задаче подразумевается, что \(y\) - это отклонение от оси, а не суммарное смещение. Однако, обычно \(y\) - это координата точки попадания. Давайте предположим, что \(y\) в таблице - это то, что должно получиться, и наши расчеты должны быть согласованы. Если \(y = 28\) мм, то это очень маленькое отклонение. Возможно, в задаче есть ошибка в данных или в интерпретации. Но если мы должны найти \(\alpha\) и \(v\), то мы их нашли. Давайте еще раз проверим, что мы должны найти: \(\Delta\varphi\), \(\alpha\), \(v\). Мы нашли: \(\Delta\varphi \approx 141\) В \(v \approx 0.26\) м/с \(\alpha \approx 14^\circ\) Если бы \(y\) было неизвестно, то мы бы его рассчитали как \(56.85\) мм. Если \(y\) дано, то оно может быть использовано для проверки или для нахождения других параметров, если бы они были неизвестны. В данном случае, все остальные параметры, кроме \(\Delta\varphi\), \(\alpha\), \(v\), заданы. Поскольку в таблице \(y\) дано, а \(\alpha\) и \(v\) нужно найти, то мы должны использовать все данные. Давайте перепроверим расчеты, используя более точные значения. \(v_0 = 0.249\) м/с \(d = 0.033\) м \(l = 0.15\) м \(U = 15\) В \(b = 0.16\) м \(y = 0.028\) м Напряженность поля: \(E = U/d = 15 / 0.033 \approx 454.54545\) В/м Ускорение: \(a = qE/m = (33 \cdot 10^{-9} \cdot 454.54545) / (150 \cdot 10^{-6}) \approx 0.09999999 \approx 0.1\) м/с\(^2\) Время в конденсаторе: \(t_1 = l/v_0 = 0.15 / 0.249 \approx 0.6024096\) с Вертикальная скорость при вылете: \(v_y = a t_1 = 0.1 \cdot 0.6024096 \approx 0.06024096\) м/с Вертикальное смещение в конденсаторе: \(y_1 = 0.5 a t_1^2 = 0.5 \cdot 0.1 \cdot (0.6024096)^2 \approx 0.0181445\) м Время после конденсатора: \(t_2 = b/v_0 = 0.16 / 0.249 \approx 0.6425702\) с Вертикальное смещение после конденсатора: \(y_2 = v_y t_2 = 0.06024096 \cdot 0.6425702 \approx 0.038713\) м Общее смещение \(y_{calc} = y_1 + y_2 = 0.0181445 + 0.038713 = 0.0568575\) м \( = 56.8575\) мм. Это значение \(y_{calc}\) не совпадает с табличным \(y = 28\) мм. Возможные причины: 1. В задаче учитывается сила тяжести, направленная вниз. Если частица заряжена положительно, а верхняя пластина отрицательна, то электрическая сила направлена вверх. Если частица заряжена отрицательно, а верхняя пластина положительна, то электрическая сила направлена вниз. В нашем случае \(q = 33\) нКл (положительный заряд), \(U = 15\) В. Если верхняя пластина отрицательна, а нижняя положительна, то электрическая сила направлена вверх. Если \(y\) - это отклонение вверх, то сила тяжести будет уменьшать это отклонение. Ускорение свободного падения \(g \approx 9.8\) м/с\(^2\). Ускорение по вертикали в конденсаторе: \(a_y = a - g = 0.1 - 9.8 = -9.7\) м/с\(^2\). Это слишком большое отрицательное ускорение, частица бы упала. Значит, сила тяжести не учитывается или она направлена так, чтобы увеличить отклонение, или электрическая сила направлена вниз. Если электрическая сила направлена вниз, то \(a = -0.1\) м/с\(^2\). Тогда \(y_1\) и \(y_2\) будут отрицательными. Но \(y\) в таблице дано как положительное значение. 2. Ошибка в условии задачи или в табличных данных. 3. Неправильная интерпретация \(y\). Возможно, \(y\) - это не суммарное отклонение, а что-то другое. Однако, если мы должны найти \(\Delta\varphi\), \(\alpha\), \(v\), то эти величины не зависят от \(y\) напрямую, если \(y\) не используется для определения других параметров. \(\Delta\varphi\) зависит от \(m, q, v_0\). \(v\) и \(\alpha\) зависят от \(v_0, l, U, d, m, q\). Давайте предположим, что \(y\) дано для проверки, и если оно не совпадает, то это проблема задачи, а не нашего решения. Мы рассчитали \(\Delta\varphi\), \(v\), \(\alpha\) на основе остальных данных. Окончательные результаты: 1. \(\Delta\varphi = \frac{m v_0^2}{2q} = \frac{150 \cdot 10^{-6} \cdot (0.249)^2}{2 \cdot 33 \cdot 10^{-9}} \approx 140.91 \text{ В} \approx 141 \text{ В}\) 2. \(E = \frac{U}{d} = \frac{15}{0.033} \approx 454.55 \text{ В/м}\) 3. \(a = \frac{qE}{m} = \frac{33 \cdot 10^{-9} \cdot 454.55}{150 \cdot 10^{-6}} \approx 0.1 \text{ м/с}^2\) 4. \(t_1 = \frac{l}{v_0} = \frac{0.15}{0.249} \approx 0.6024 \text{ с}\) 5. \(v_y = a t_1 = 0.1 \cdot 0.6024 \approx 0.06024 \text{ м/с}\) 6. \(v = \sqrt{v_0^2 + v_y^2} = \sqrt{(0.249)^2 + (0.06024)^2} \approx \sqrt{0.062001 + 0.0036288} \approx \sqrt{0.0656298} \approx 0.2562 \text{ м/с} \approx 0.26 \text{ м/с}\) 7. \(\tan \alpha = \frac{v_y}{v_0} = \frac{0.06024}{0.249} \approx 0.2419 \Rightarrow \alpha = \arctan(0.2419) \approx 13.59^\circ \approx 14^\circ\)
Ответы: \(\Delta\varphi \approx 141\) В \(\alpha \approx 14^\circ\) \(v \approx 0.26\) м/с