Решение задачи 2.2 Вариант 15: Движение заряженной частицы в конденсаторе

Хорошо, решаем задачу 2.2 для варианта 15. Задача 2.2. Пластины плоского конденсатора, заряженного до напряжения \(U\), расположены горизонтально. Длина пластин равна \(l\), расстояние между ними – \(d\). В конденсатор параллельно пластинам влетает со скоростью \(v_0\) ускоренная разностью потенциалов \(\Delta\varphi\) из состояния покоя заряженная частица массой \(m\) и зарядом \(q\). Частица вылетает из конденсатора со скоростью \(v\), направленной под углом \(\alpha\) к горизонту, и затем попадает в точку \(A\) на экране Э, расположенном на расстоянии \(b\). Расстояние между точками \(O\) и \(A\) равно \(y\). Определить величины, обозначенные знаком вопроса в таблице 2.2. Решение сопроводить рисунком. Данные для варианта 15: \(m = 150 \cdot 10^{-6}\) кг \(q = -16\) нКл \( = -16 \cdot 10^{-9}\) Кл \(\Delta\varphi = ?\) \(v_0 = 249\) мм/с \( = 0.249\) м/с \(d = 33\) мм \( = 0.033\) м \(l = 15\) см \( = 0.15\) м \(U = 15\) В \(b = 16\) см \( = 0.16\) м \(y = 28\) мм \( = 0.028\) м \(\alpha = ?\) град \(v = ?\) мм/с Решение: 1. Изобразим проводник с учетом заданных углов. (Здесь должен быть рисунок, но я не могу его нарисовать. Представьте горизонтально расположенные пластины конденсатора. Частица влетает между ними, отклоняется под действием электрического поля, вылетает под углом и по параболической траектории достигает экрана.) 2. Определим неизвестные величины. а) **Найдём \(\Delta\varphi\)** (разность потенциалов, ускоряющая частицу до скорости \(v_0\)). По закону сохранения энергии, кинетическая энергия, приобретенная частицей, равна работе электрического поля: \[\frac{m v_0^2}{2} = q \Delta\varphi\] Отсюда: \[\Delta\varphi = \frac{m v_0^2}{2q}\] Подставим значения: \[\Delta\varphi = \frac{150 \cdot 10^{-6} \text{ кг} \cdot (0.249 \text{ м/с})^2}{2 \cdot (-16 \cdot 10^{-9} \text{ Кл})}\] \[\Delta\varphi = \frac{150 \cdot 10^{-6} \cdot 0.062001}{ -32 \cdot 10^{-9}}\] \[\Delta\varphi = \frac{9.30015 \cdot 10^{-6}}{ -32 \cdot 10^{-9}}\] \[\Delta\varphi \approx -290.63 \text{ В}\] Так как заряд отрицательный, а частица ускоряется, то \(\Delta\varphi\) должно быть отрицательным. б) **Найдём угол \(\alpha\)** (угол вылета частицы из конденсатора). Движение частицы в конденсаторе можно разложить на два независимых движения: * Равномерное движение по горизонтали со скоростью \(v_x = v_0\). * Равноускоренное движение по вертикали под действием электрической силы. Электрическая сила, действующая на частицу в конденсаторе: \[F_y = qE\] где \(E = \frac{U}{d}\) – напряженность электрического поля. \[F_y = q \frac{U}{d}\] Ускорение частицы по вертикали: \[a_y = \frac{F_y}{m} = \frac{qU}{md}\] Поскольку заряд \(q\) отрицательный, а верхняя пластина, судя по рисунку, отрицательная (нижняя положительная), то электрическое поле направлено вниз. Сила \(F_y = qE\) будет направлена вверх (против поля), так как \(q < 0\). Время движения частицы в конденсаторе: \[t_1 = \frac{l}{v_0}\] \[t_1 = \frac{0.15 \text{ м}}{0.249 \text{ м/с}} \approx 0.6024 \text{ с}\] Вертикальная скорость частицы при вылете из конденсатора: \[v_y = a_y t_1 = \frac{qU}{md} \cdot \frac{l}{v_0} = \frac{qUl}{mdv_0}\] \[v_y = \frac{(-16 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}) \cdot 15 \text{ В} \cdot 0.15 \text{ м}}{150 \cdot 10^{-6} \text{ кг} \cdot 0.033 \text{ м} \cdot 0.249 \text{ м/с}}\] \[v_y = \frac{-3.6 \cdot 10^{-8}}{1.23255 \cdot 10^{-6}} \approx -0.0292 \text{ м/с}\] Отрицательный знак означает, что скорость направлена вниз (если мы выбрали положительное направление вверх). Угол \(\alpha\) при вылете из конденсатора: \[\tan \alpha = \frac{v_y}{v_x} = \frac{v_y}{v_0}\] \[\tan \alpha = \frac{-0.0292 \text{ м/с}}{0.249 \text{ м/с}} \approx -0.1173\] \[\alpha = \arctan(-0.1173) \approx -6.68^\circ\] Угол отрицательный, что означает, что частица вылетает под углом вниз к горизонту. в) **Найдём \(v\)** (скорость частицы при вылете из конденсатора). \[v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{v_0^2 + v_y^2}\] \[v = \sqrt{(0.249 \text{ м/с})^2 + (-0.0292 \text{ м/с})^2}\] \[v = \sqrt{0.062001 + 0.00085264}\] \[v = \sqrt{0.06285364} \approx 0.2507 \text{ м/с}\] Переведем в мм/с: \[v \approx 0.2507 \cdot 1000 \text{ мм/с} = 250.7 \text{ мм/с}\] г) **Проверим \(y\)** (расстояние до точки \(A\) на экране). После вылета из конденсатора частица движется по параболической траектории под действием силы тяжести (если не указано, что ею можно пренебречь) и с начальной скоростью \(v\) под углом \(\alpha\). Однако, в условии задачи не указано, что нужно учитывать силу тяжести, и обычно в таких задачах ею пренебрегают, если не сказано обратное. Предположим, что после вылета из конденсатора частица движется прямолинейно до экрана, так как в условии не упоминается гравитация. Если частица движется прямолинейно после вылета, то: \[y = b \tan |\alpha|\] \[y = 0.16 \text{ м} \cdot \tan(6.68^\circ)\] \[y = 0.16 \text{ м} \cdot 0.1173 \approx 0.018768 \text{ м}\] \[y \approx 18.77 \text{ мм}\] Это значение не совпадает с заданным \(y = 28\) мм. Это означает, что либо нужно учитывать силу тяжести, либо в задаче есть неточность, либо я неправильно интерпретировал движение после конденсатора. Однако, если бы мы учитывали силу тяжести, то траектория была бы параболической, и расчет был бы сложнее. Обычно, если \(y\) дано, то его используют для нахождения \(\alpha\) или \(v\). Давайте пересчитаем \(\alpha\) исходя из заданного \(y\), предполагая прямолинейное движение после конденсатора (без гравитации). Если \(y = 0.028\) м, то: \[\tan |\alpha| = \frac{y}{b} = \frac{0.028 \text{ м}}{0.16 \text{ м}} = 0.175\] \[|\alpha| = \arctan(0.175) \approx 9.92^\circ\] Это значение \(\alpha\) отличается от того, что мы получили из \(v_y\) и \(v_x\). Это указывает на то, что либо в таблице есть противоречие, либо нужно учитывать гравитацию, либо \(y\) дано для проверки, но не совпадает. В школьных задачах обычно предполагается, что данные согласованы. Если \(y\) дано, то его используют. Давайте предположим, что \(y\) дано для проверки, и мы должны найти \(\alpha\) и \(v\) из движения в конденсаторе. Если же \(y\) является частью данных, которые должны быть согласованы, то это означает, что наше предположение о движении без гравитации после конденсатора неверно, или же в таблице есть ошибка. В условиях задачи не сказано пренебрегать гравитацией. Если учитывать гравитацию, то: Вертикальное смещение после конденсатора: \[y = v_y t_2 + \frac{g t_2^2}{2}\] где \(t_2 = \frac{b}{v_x} = \frac{b}{v_0}\) – время движения от конденсатора до экрана. \[t_2 = \frac{0.16 \text{ м}}{0.249 \text{ м/с}} \approx 0.6426 \text{ с}\] \[y = (-0.0292 \text{ м/с}) \cdot 0.6426 \text{ с} + \frac{9.8 \text{ м/с}^2 \cdot (0.6426 \text{ с})^2}{2}\] \[y = -0.018768 + \frac{9.8 \cdot 0.412935}{2}\] \[y = -0.018768 + 2.023 \approx 2.004 \text{ м}\] Это значение \(y\) (2 метра) сильно отличается от 28 мм. Это подтверждает, что гравитацией пренебрегают. Значит, скорее всего, в таблице есть несогласованность данных, или же я должен был использовать \(y\) для нахождения \(\alpha\). Если мы используем \(y\) для нахождения \(\alpha\), то: \[\tan |\alpha| = \frac{y}{b} = \frac{0.028 \text{ м}}{0.16 \text{ м}} = 0.175\] \[|\alpha| = \arctan(0.175) \approx 9.92^\circ\] И тогда \(v_y = v_0 \tan \alpha = 0.249 \cdot (-0.175) = -0.043575\) м/с. Это значение \(v_y\) отличается от того, что мы получили из движения в конденсаторе. В таких случаях, обычно, если величины даны, то они являются исходными. Если стоит знак вопроса, то это искомая величина. Поэтому, я буду придерживаться расчетов, основанных на \(m, q, v_0, d, l, U, b\), и найду \(\Delta\varphi, \alpha, v\). Значение \(y\) в таблице, вероятно, дано для проверки или является избыточным/несогласованным. Итак, окончательные результаты: а) \(\Delta\varphi \approx -290.63\) В б) \(\alpha \approx -6.68^\circ\) (или \(6.68^\circ\) ниже горизонта) в) \(v \approx 250.7\) мм/с Ответ: \(\Delta\varphi \approx -290.63\) В \(\alpha \approx -6.68^\circ\) \(v \approx 250.7\) мм/с