Решение задачи 2.3 (вариант 15) - Эффект Холла

Хорошо, решаем задачу 2.3 для варианта 15. Условие задачи: Через поперечное сечение \(S\) проводящей пластинки толщиной \(d\), длиной \(a\) и высотой \(b\) протекает ток силой \(I\) и плотностью \(\vec{j}\). При помещении пластинки в магнитное поле с индукцией \(\vec{B}\) возникает поперечное электрическое поле с напряженностью \(E_x\) и разность потенциалов \(U_x\). Концентрация электронов проводимости в пластинке \(n\) и скорость \(v\). Постоянная Холла \(R_x\). Определить величины, обозначенные знаком вопроса в таблице 2.3. Данные для варианта 15: \(a = 5,8\) мм \(b = 4,7\) мм \(d = ?\) \(S = 12\) мм\(^2\) \(I = ?\) \(j = ?\) А/м\(^2\) \(B = 41\) мТл \(n \cdot 10^{19} = ?\) м\(^{-3}\) \(v = ?\) см/с \(R_x \cdot 10^{-2} = 21\) м\(^3\)/Кл \(U_x = 0,1\) мкВ \(E_x = 1\) мкВ/м Переведем все известные величины в СИ: \(a = 5,8\) мм \( = 5,8 \cdot 10^{-3}\) м \(b = 4,7\) мм \( = 4,7 \cdot 10^{-3}\) м \(S = 12\) мм\(^2\) \( = 12 \cdot 10^{-6}\) м\(^2\) \(B = 41\) мТл \( = 41 \cdot 10^{-3}\) Тл \(R_x = 21 \cdot 10^{-2}\) м\(^3\)/Кл \( = 0,21\) м\(^3\)/Кл \(U_x = 0,1\) мкВ \( = 0,1 \cdot 10^{-6}\) В \(E_x = 1\) мкВ/м \( = 1 \cdot 10^{-6}\) В/м Формулы, которые могут понадобиться: 1. Площадь поперечного сечения: \(S = b \cdot d\) 2. Плотность тока: \(j = \frac{I}{S}\) 3. Постоянная Холла: \(R_x = \frac{1}{n \cdot e}\), где \(e = 1,6 \cdot 10^{-19}\) Кл (элементарный заряд) 4. Напряженность электрического поля Холла: \(E_x = R_x \cdot j \cdot B\) 5. Разность потенциалов Холла: \(U_x = E_x \cdot b\) (или \(U_x = R_x \cdot I \cdot \frac{B}{d}\)) 6. Скорость дрейфа электронов: \(v = \frac{j}{n \cdot e}\) Решение: 1. Найдем толщину \(d\). Из формулы площади поперечного сечения \(S = b \cdot d\): \(d = \frac{S}{b}\) \(d = \frac{12 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2}{4,7 \cdot 10^{-3} \text{ м}}\) \(d \approx 2,55 \cdot 10^{-3}\) м \( = 2,55\) мм 2. Найдем концентрацию электронов \(n\). Из формулы постоянной Холла \(R_x = \frac{1}{n \cdot e}\): \(n = \frac{1}{R_x \cdot e}\) \(n = \frac{1}{0,21 \text{ м}^3/\text{Кл} \cdot 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}}\) \(n \approx \frac{1}{0,336 \cdot 10^{-19}}\) м\(^{-3}\) \(n \approx 2,976 \cdot 10^{19}\) м\(^{-3}\) Тогда \(n \cdot 10^{19} \approx 2,98\) м\(^{-3}\) 3. Найдем плотность тока \(j\). Из формулы напряженности электрического поля Холла \(E_x = R_x \cdot j \cdot B\): \(j = \frac{E_x}{R_x \cdot B}\) \(j = \frac{1 \cdot 10^{-6} \text{ В/м}}{0,21 \text{ м}^3/\text{Кл} \cdot 41 \cdot 10^{-3} \text{ Тл}}\) \(j = \frac{1 \cdot 10^{-6}}{8,61 \cdot 10^{-3}}\) А/м\(^2\) \(j \approx 1,16 \cdot 10^{-4}\) А/м\(^2\) 4. Найдем силу тока \(I\). Из формулы плотности тока \(j = \frac{I}{S}\): \(I = j \cdot S\) \(I = 1,16 \cdot 10^{-4} \text{ А/м}^2 \cdot 12 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2\) \(I \approx 1,392 \cdot 10^{-9}\) А \( = 0,001392\) мкА 5. Найдем скорость дрейфа электронов \(v\). Из формулы скорости дрейфа электронов \(v = \frac{j}{n \cdot e}\): \(v = \frac{1,16 \cdot 10^{-4} \text{ А/м}^2}{2,976 \cdot 10^{19} \text{ м}^{-3} \cdot 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}}\) \(v = \frac{1,16 \cdot 10^{-4}}{4,7616}\) м/с \(v \approx 2,436 \cdot 10^{-5}\) м/с \( = 2,436 \cdot 10^{-3}\) см/с Проверим \(U_x\): \(U_x = E_x \cdot b\) \(U_x = 1 \cdot 10^{-6} \text{ В/м} \cdot 4,7 \cdot 10^{-3} \text{ м}\) \(U_x = 4,7 \cdot 10^{-9}\) В \( = 4,7\) нВ. Это значение не совпадает с данным в таблице \(U_x = 0,1\) мкВ. Возможно, в таблице есть опечатка или нужно использовать другую формулу для \(U_x\). Если использовать \(U_x = R_x \cdot I \cdot \frac{B}{d}\), то \(I\) будет другим. Давайте пересчитаем, исходя из того, что \(U_x\) и \(E_x\) даны и должны быть согласованы. Если \(E_x = 1\) мкВ/м и \(U_x = 0,1\) мкВ, то \(b = \frac{U_x}{E_x} = \frac{0,1 \cdot 10^{-6} \text{ В}}{1 \cdot 10^{-6} \text{ В/м}} = 0,1\) м \( = 100\) мм. Но в таблице \(b = 4,7\) мм. Это означает, что данные \(U_x\) и \(E_x\) в таблице противоречат друг другу. Будем считать, что \(E_x\) является первичной величиной, а \(U_x\) вычисляется по ней. Тогда \(U_x = E_x \cdot b = 1 \cdot 10^{-6} \text{ В/м} \cdot 4,7 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 4,7 \cdot 10^{-9}\) В \( = 0,0047\) мкВ. Если же считать \(U_x\) первичной, то \(E_x = \frac{U_x}{b} = \frac{0,1 \cdot 10^{-6} \text{ В}}{4,7 \cdot 10^{-3} \text{ м}} \approx 21,27 \cdot 10^{-6}\) В/м \( = 21,27\) мкВ/м. В задании сказано "Определить величины, обозначенные знаком вопроса". Это означает, что известные величины должны быть использованы для расчета неизвестных. Предположим, что \(E_x\) в таблице является результатом округления или что-то еще. Давайте пересчитаем \(j\) и \(I\) используя \(U_x\) и \(b\). \(E_x = \frac{U_x}{b} = \frac{0,1 \cdot 10^{-6} \text{ В}}{4,7 \cdot 10^{-3} \text{ м}} \approx 2,127 \cdot 10^{-5}\) В/м. Теперь используем это значение \(E_x\) для расчета \(j\). \(j = \frac{E_x}{R_x \cdot B} = \frac{2,127 \cdot 10^{-5} \text{ В/м}}{0,21 \text{ м}^3/\text{Кл} \cdot 41 \cdot 10^{-3} \text{ Тл}}\) \(j = \frac{2,127 \cdot 10^{-5}}{8,61 \cdot 10^{-3}}\) А/м\(^2\) \(j \approx 2,47 \cdot 10^{-3}\) А/м\(^2\) Тогда \(I = j \cdot S = 2,47 \cdot 10^{-3} \text{ А/м}^2 \cdot 12 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2\) \(I \approx 2,964 \cdot 10^{-8}\) А \( = 0,02964\) мкА И скорость \(v = \frac{j}{n \cdot e} = \frac{2,47 \cdot 10^{-3} \text{ А/м}^2}{2,976 \cdot 10^{19} \text{ м}^{-3} \cdot 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}}\) \(v = \frac{2,47 \cdot 10^{-3}}{4,7616}\) м/с \(v \approx 5,187 \cdot 10^{-4}\) м/с \( = 0,05187\) см/с Учитывая, что в таблице даны \(E_x\) и \(U_x\), и они противоречат друг другу, я буду использовать \(E_x\) для расчета \(j\), а \(U_x\) для проверки, если это возможно. Но так как \(E_x\) и \(U_x\) связаны через \(b\), и \(b\) дано, то одно из них должно быть "правильным", а другое - "неправильным" или округленным. Обычно, если даны \(E_x\) и \(U_x\), то \(U_x = E_x \cdot b\). Давайте еще раз проверим: \(E_x \cdot b = 1 \cdot 10^{-6} \text{ В/м} \cdot 4,7 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 4,7 \cdot 10^{-9}\) В \( = 0,0047\) мкВ. В таблице \(U_x = 0,1\) мкВ. Это в 21,27 раз больше. Это серьезное расхождение. В таких случаях обычно предполагается, что данные в таблице являются исходными, и если они противоречат друг другу, то это ошибка в задании. Однако, если нужно выбрать, что использовать, то часто \(E_x\) является более фундаментальной величиной, связанной с эффектом Холла. Давайте придерживаться первого расчета, используя \(E_x = 1\) мкВ/м. Окончательные результаты для варианта 15: 1. Толщина \(d\): \(d = \frac{S}{b} = \frac{12 \text{ мм}^2}{4,7 \text{ мм}} \approx 2,55\) мм 2. Концентрация электронов \(n\): \(n = \frac{1}{R_x \cdot e} = \frac{1}{0,21 \text{ м}^3/\text{Кл} \cdot 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}} \approx 2,98 \cdot 10^{19}\) м\(^{-3}\) Значение для таблицы: \(n \cdot 10^{19} \approx 2,98\) м\(^{-3}\) 3. Плотность тока \(j\): \(j = \frac{E_x}{R_x \cdot B} = \frac{1 \cdot 10^{-6} \text{ В/м}}{0,21 \text{ м}^3/\text{Кл} \cdot 41 \cdot 10^{-3} \text{ Тл}} \approx 1,16 \cdot 10^{-4}\) А/м\(^2\) 4. Сила тока \(I\): \(I = j \cdot S = 1,16 \cdot 10^{-4} \text{ А/м}^2 \cdot 12 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2 \approx 1,39 \cdot 10^{-9}\) А \( = 0,00139\) мкА 5. Скорость дрейфа электронов \(v\): \(v = \frac{j}{n \cdot e} = \frac{1,16 \cdot 10^{-4} \text{ А/м}^2}{2,98 \cdot 10^{19} \text{ м}^{-3} \cdot 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}} \approx 2,43 \cdot 10^{-5}\) м/с \( = 0,00243\) см/с Заполняем таблицу для варианта 15: | Вариант | \(a\), мм | \(b\), мм | \(d\), мм | \(S\), мм\(^2\) | \(I\), мА | \(j\), А/м\(^2\) | \(B\), мТл | \(n \cdot 10^{19}\), м\(^{-3}\) | \(v\), см/с | \(R_x \cdot 10^{-2}\), м\(^3\)/Кл | \(U_x\), мкВ | \(E_x\), мкВ/м | |---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---| | 15 | 5,8 | 4,7 | **2,55** | 12 | **0,00000139** | **0,000116** | 41 | **2,98** | **0,00243** | 21 | 0,1 | 1 | Примечание: Из-за противоречия между \(U_x\) и \(E_x\) в исходных данных, расчеты были выполнены, исходя из значения \(E_x\), как более прямо связанного с эффектом Холла. Если бы использовалось значение \(U_x\), то \(E_x\) и, соответственно, \(j\), \(I\), \(v\) были бы другими.