Решение задачи 2.2 Вариант 15 по физике

Хорошо, решаем задачу 2.2 для варианта 15. Условие задачи: Пластины плоского конденсатора, заряженного до напряжения \(U\), расположены горизонтально. Длина пластин равна \(l\), расстояние между ними — \(d\). В конденсатор параллельно пластинам влетает со скоростью \(v_0\) ускоренная разностью потенциалов \(\Delta\phi\) из состояния покоя заряженная частица массой \(m\) и зарядом \(q\). Частица вылетает из конденсатора со скоростью \(v\), направленной под углом \(\alpha\) к горизонту, и затем попадает в точку \(A\) на экране Э, расположенном на расстоянии \(b\). Расстояние между точками \(O\) и \(A\) равно \(y\). Определить величины, обозначенные знаком вопроса в таблице 2.2. Решение сопроводить рисунком. Данные для варианта 15: \(m = 150 \cdot 10^{-6}\) кг \(\Delta\phi = ?\) \(q = ?\) \(v_0 = 249\) мм/с \(d = 33\) мм \(l = 15\) см \(U = 15\) В \(b = 15\) см \(y = 28\) мм \(\alpha = ?\) \(v = ?\) Переведем все величины в СИ: \(m = 150 \cdot 10^{-6}\) кг \(v_0 = 249 \cdot 10^{-3}\) м/с \(d = 33 \cdot 10^{-3}\) м \(l = 15 \cdot 10^{-2}\) м \(U = 15\) В \(b = 15 \cdot 10^{-2}\) м \(y = 28 \cdot 10^{-3}\) м Рисунок: (Представьте себе рисунок, аналогичный представленному в условии задачи, где частица влетает в конденсатор, отклоняется и затем летит по параболе до экрана.) Начало координат \(O\) находится на выходе из конденсатора. Ось \(x\) направлена горизонтально, ось \(y\) — вертикально вверх. Решение: 1. Найдём напряженность электрического поля в конденсаторе: \[E = \frac{U}{d}\] \[E = \frac{15 \text{ В}}{33 \cdot 10^{-3} \text{ м}} \approx 454.55 \text{ В/м}\] 2. Определим ускорение частицы в конденсаторе. Сила, действующая на частицу в конденсаторе: \(F_y = qE\). Ускорение частицы в конденсаторе: \(a_y = \frac{qE}{m}\). Поскольку частица ускоряется разностью потенциалов \(\Delta\phi\) из состояния покоя, то её кинетическая энергия на входе в конденсатор равна работе электрического поля: \[\frac{1}{2} m v_0^2 = q \Delta\phi\] Отсюда можно найти \(q\), если известно \(\Delta\phi\), или \(\Delta\phi\), если известно \(q\). В нашем случае ни \(q\), ни \(\Delta\phi\) не даны. Рассмотрим движение частицы внутри конденсатора. Горизонтальная скорость частицы внутри конденсатора постоянна и равна \(v_0\). Время пролета конденсатора: \[t_1 = \frac{l}{v_0}\] \[t_1 = \frac{15 \cdot 10^{-2} \text{ м}}{249 \cdot 10^{-3} \text{ м/с}} \approx 0.6024 \text{ с}\] Вертикальная скорость частицы на выходе из конденсатора: \[v_y = a_y t_1 = \frac{qE}{m} t_1\] Горизонтальная скорость на выходе: \(v_x = v_0\). Полная скорость на выходе из конденсатора: \(v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\). Угол вылета: \(\tan \alpha = \frac{v_y}{v_x}\). 3. Рассмотрим движение частицы после вылета из конденсатора до экрана. На частицу действует только сила тяжести (если не указано иное, электрическое поле вне конденсатора отсутствует). Уравнения движения: \[x(t) = v_x t\] \[y(t) = v_y t - \frac{1}{2} g t^2\] Где \(t\) — время движения от выхода из конденсатора до экрана. Когда частица достигает экрана, \(x(t) = b\). \[t_2 = \frac{b}{v_x} = \frac{b}{v_0}\] \[t_2 = \frac{15 \cdot 10^{-2} \text{ м}}{249 \cdot 10^{-3} \text{ м/с}} \approx 0.6024 \text{ с}\] (Обратите внимание, что \(t_1 = t_2\) в данном варианте, так как \(l=b\)). Вертикальное смещение на экране: \[y = v_y t_2 - \frac{1}{2} g t_2^2\] Мы знаем \(y = 28 \cdot 10^{-3}\) м. \[28 \cdot 10^{-3} = v_y \cdot 0.6024 - \frac{1}{2} \cdot 9.81 \cdot (0.6024)^2\] \[28 \cdot 10^{-3} = 0.6024 v_y - \frac{1}{2} \cdot 9.81 \cdot 0.36288\] \[28 \cdot 10^{-3} = 0.6024 v_y - 1.780\] \[0.6024 v_y = 28 \cdot 10^{-3} + 1.780\] \[0.6024 v_y = 1.808\] \[v_y = \frac{1.808}{0.6024} \approx 3.001 \text{ м/с}\] 4. Теперь, зная \(v_y\), можем найти \(q\). \[v_y = \frac{qE}{m} t_1\] \[q = \frac{m v_y}{E t_1}\] \[q = \frac{150 \cdot 10^{-6} \text{ кг} \cdot 3.001 \text{ м/с}}{454.55 \text{ В/м} \cdot 0.6024 \text{ с}}\] \[q = \frac{450.15 \cdot 10^{-6}}{273.8} \approx 1.644 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}\] \[q \approx 1.644 \text{ мкКл}\] В таблице \(q\) дано в нКл, поэтому \(q \approx 1644 \text{ нКл}\). 5. Найдем \(\Delta\phi\). \[\frac{1}{2} m v_0^2 = q \Delta\phi\] \[\Delta\phi = \frac{m v_0^2}{2q}\] \[\Delta\phi = \frac{150 \cdot 10^{-6} \text{ кг} \cdot (249 \cdot 10^{-3} \text{ м/с})^2}{2 \cdot 1.644 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}}\] \[\Delta\phi = \frac{150 \cdot 10^{-6} \cdot 62001 \cdot 10^{-6}}{3.288 \cdot 10^{-6}}\] \[\Delta\phi = \frac{9300150 \cdot 10^{-12}}{3.288 \cdot 10^{-6}} = \frac{9.30015 \cdot 10^{-6}}{3.288 \cdot 10^{-6}} \approx 2.828 \text{ В}\] 6. Найдем угол вылета \(\alpha\). \[\tan \alpha = \frac{v_y}{v_x} = \frac{v_y}{v_0}\] \[\tan \alpha = \frac{3.001 \text{ м/с}}{249 \cdot 10^{-3} \text{ м/с}} \approx 12.052\] \[\alpha = \arctan(12.052) \approx 85.25^\circ\] 7. Найдем полную скорость вылета \(v\). \[v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{v_0^2 + v_y^2}\] \[v = \sqrt{(249 \cdot 10^{-3})^2 + (3.001)^2}\] \[v = \sqrt{0.062001 + 9.006}\] \[v = \sqrt{9.068} \approx 3.011 \text{ м/с}\] Окончательные результаты для варианта 15: \(\Delta\phi \approx 2.83\) В \(q \approx 1644\) нКл \(\alpha \approx 85.25^\circ\) \(v \approx 3.011\) м/с Заполненная строка для варианта 15: \(m \cdot 10^{-6}\) кг: 150 \(q\), нКл: 1644 \(\Delta\phi\), В: 2.83 \(v_0\), мм/с: 249 \(d\), мм: 33 \(l\), см: 15 \(U\), В: 15 \(b\), см: 15 \(y\), мм: 28 \(\alpha\), град: 85.25 \(v\), мм/с: 3011