Решение задачи 2.2, Вариант 15: Движение заряженной частицы в конденсаторе

Хорошо, решаем задачу 2.2 для варианта 15. Условие задачи: Пластины плоского конденсатора, заряженного до напряжения \(U\), расположены горизонтально. Длина пластин равна \(l\), расстояние между ними - \(d\). В конденсатор параллельно пластинам влетает со скоростью \(v_0\) ускоренная разностью потенциалов \(\Delta\phi\) из состояния покоя заряженная частица массой \(m\) и зарядом \(q\). Частица вылетает из конденсатора со скоростью \(v\), направленной под углом \(\alpha\) к горизонту, и затем попадает в точку \(A\) на экране Э, расположенном на расстоянии \(b\). Расстояние между точками \(O\) и \(A\) равно \(y\). Определить величины, обозначенные знаком вопроса в таблице 2.2. Данные для варианта 15: \(m = 150 \cdot 10^{-6}\) кг \(q = ?\) нКл \(\Delta\phi = 249\) В \(v_0 = ?\) мм/с \(d = 33\) мм \(l = 15\) см \(U = 15\) В \(b = 16\) см \(y = 28\) мм \(\alpha = ?\) град \(v = ?\) мм/с Переведем все известные величины в СИ: \(m = 150 \cdot 10^{-6}\) кг \(\Delta\phi = 249\) В \(d = 33\) мм \( = 33 \cdot 10^{-3}\) м \(l = 15\) см \( = 0,15\) м \(U = 15\) В \(b = 16\) см \( = 0,16\) м \(y = 28\) мм \( = 28 \cdot 10^{-3}\) м Формулы, которые могут понадобиться: 1. Энергия, приобретенная частицей при ускорении: \(q \cdot \Delta\phi = \frac{1}{2} m v_0^2\) 2. Напряженность электрического поля в конденсаторе: \(E = \frac{U}{d}\) 3. Сила, действующая на частицу в конденсаторе: \(F_y = q \cdot E = q \frac{U}{d}\) 4. Ускорение частицы в конденсаторе: \(a_y = \frac{F_y}{m} = \frac{qU}{md}\) 5. Движение частицы в конденсаторе (горизонтальное): \(x = v_{0x} t\), \(v_x = v_{0x}\) 6. Движение частицы в конденсаторе (вертикальное): \(y = v_{0y} t + \frac{1}{2} a_y t^2\), \(v_y = v_{0y} + a_y t\) 7. Время пролета конденсатора: \(t_l = \frac{l}{v_{0x}}\) (если \(v_{0x}\) - горизонтальная составляющая скорости влета) 8. После вылета из конденсатора частица движется как тело, брошенное под углом к горизонту (или горизонтально, если \(v_{0y}=0\)), под действием силы тяжести. Однако, в условии не указано, что учитывается сила тяжести. Обычно в таких задачах, если не сказано, то пренебрегают силой тяжести, если есть электрическое поле. Будем считать, что после вылета из конденсатора частица движется по инерции (если нет внешних полей) или под действием силы тяжести. Но так как в задаче не указано, что поле действует после конденсатора, и есть экран, то это движение по инерции. Если частица вылетает из конденсатора со скоростью \(v\) под углом \(\alpha\) к горизонту, то ее компоненты скорости: \(v_x = v \cos\alpha\), \(v_y = v \sin\alpha\). Расстояние до экрана \(b\). Время полета до экрана: \(t_{экран} = \frac{b}{v_x}\). Вертикальное смещение на экране: \(y = v_y \cdot t_{экран} = v_y \frac{b}{v_x} = b \tan\alpha\). Это смещение \(y\) от точки \(O\). Предположим, что частица влетает в конденсатор горизонтально, то есть \(v_{0y} = 0\). Тогда \(v_{0x} = v_0\). Также, в условии сказано "ускоренная разностью потенциалов \(\Delta\phi\) из состояния покоя". Это означает, что \(v_0\) - это скорость, с которой частица влетает в конденсатор. Решение: 1. Найдем скорость влета в конденсатор \(v_0\). Из закона сохранения энергии: \(q \cdot \Delta\phi = \frac{1}{2} m v_0^2\). Для этого нам нужен заряд \(q\). Заряд \(q\) неизвестен. Давайте посмотрим, что можно найти без \(q\). Мы знаем \(y\), \(b\). Из \(y = b \tan\alpha\), можем найти \(\tan\alpha\). \(\tan\alpha = \frac{y}{b} = \frac{28 \cdot 10^{-3} \text{ м}}{0,16 \text{ м}} = 0,175\) \(\alpha = \arctan(0,175) \approx 9,92\) град. Значит, \(\alpha \approx 9,92\) град. 2. Теперь нам нужно найти \(q\), \(v_0\), \(v\). В конденсаторе частица движется с постоянной горизонтальной скоростью \(v_x = v_0\) (если влетает горизонтально) и с постоянным вертикальным ускорением \(a_y = \frac{qU}{md}\). Время пролета конденсатора: \(t_l = \frac{l}{v_0}\). Вертикальная скорость при вылете из конденсатора: \(v_y = a_y t_l = \frac{qU}{md} \frac{l}{v_0}\). Скорость вылета из конденсатора \(v = \sqrt{v_0^2 + v_y^2}\). Угол вылета \(\tan\alpha = \frac{v_y}{v_0} = \frac{qUl}{mdv_0^2}\). Мы уже нашли \(\tan\alpha = 0,175\). Значит, \(0,175 = \frac{qUl}{mdv_0^2}\). Отсюда \(q = \frac{0,175 \cdot m d v_0^2}{U l}\). У нас два неизвестных: \(q\) и \(v_0\). У нас есть два уравнения: (1) \(q \cdot \Delta\phi = \frac{1}{2} m v_0^2\) (2) \(q = \frac{0,175 \cdot m d v_0^2}{U l}\) Подставим (2) в (1): \(\frac{0,175 \cdot m d v_0^2}{U l} \cdot \Delta\phi = \frac{1}{2} m v_0^2\) Сократим \(m v_0^2\) (предполагаем, что \(m \neq 0\) и \(v_0 \neq 0\)): \(\frac{0,175 \cdot d \cdot \Delta\phi}{U l} = \frac{1}{2}\) Отсюда можно найти \(d\), но \(d\) нам дано. Это уравнение должно быть верным для данных значений. Проверим: \(\frac{0,175 \cdot (33 \cdot 10^{-3} \text{ м}) \cdot 249 \text{ В}}{15 \text{ В} \cdot 0,15 \text{ м}} = \frac{0,175 \cdot 33 \cdot 249}{15 \cdot 150} = \frac{1439,775}{2250} \approx 0,6399\) Это не равно \(0,5\). Это означает, что либо в условии задачи есть ошибка, либо я неправильно интерпретировал движение, либо данные в таблице противоречивы. Часто в таких задачах предполагается, что частица влетает в конденсатор с некоторой начальной скоростью \(v_0\), а затем ускоряется в нем. Но здесь сказано "ускоренная разностью потенциалов \(\Delta\phi\) из состояния покоя заряженная частица массой \(m\) и зарядом \(q\). Частица вылетает из конденсатора со скоростью \(v_0\)". Это формулировка немного сбивает. "В конденсатор параллельно пластинам влетает со скоростью \(v_0\) ускоренная разностью потенциалов \(\Delta\phi\) из состояния покоя заряженная частица". Это означает, что \(v_0\) - это скорость, которую частица приобрела до влета в конденсатор. Тогда \(q \cdot \Delta\phi = \frac{1}{2} m v_0^2\). И в конденсаторе на нее действует электрическое поле. Давайте перепроверим. Если \(v_0\) - это скорость влета в конденсатор, то она горизонтальна. Тогда \(v_x = v_0\). Вертикальное ускорение \(a_y = \frac{qU}{md}\). Время пролета конденсатора \(t_l = \frac{l}{v_0}\). Вертикальная скорость при вылете \(v_y = a_y t_l = \frac{qUl}{mdv_0}\). Угол вылета \(\tan\alpha = \frac{v_y}{v_x} = \frac{qUl}{mdv_0^2}\). Мы нашли \(\alpha \approx 9,92\) град, \(\tan\alpha \approx 0,175\). Значит, \(0,175 = \frac{qUl}{mdv_0^2}\). Из \(q \cdot \Delta\phi = \frac{1}{2} m v_0^2\), выразим \(v_0^2 = \frac{2q\Delta\phi}{m}\). Подставим \(v_0^2\) в уравнение для \(\tan\alpha\): \(0,175 = \frac{qUl}{md \cdot \frac{2q\Delta\phi}{m}}\) \(0,175 = \frac{qUl}{2q\Delta\phi d}\) \(0,175 = \frac{Ul}{2\Delta\phi d}\) Это уравнение не содержит \(q\) и \(v_0\). Оно должно быть верным для данных значений. Проверим: \(\frac{U l}{2 \Delta\phi d} = \frac{15 \text{ В} \cdot 0,15 \text{ м}}{2 \cdot 249 \text{ В} \cdot 33 \cdot 10^{-3} \text{ м}} = \frac{2,25}{2 \cdot 249 \cdot 0,033} = \frac{2,25}{16,434} \approx 0,1369\) Это значение \(0,1369\) не равно \(0,175\). Это подтверждает, что данные в таблице для варианта 15 противоречивы. В таких случаях, если нужно решить задачу, обычно выбирают один из путей. Давайте предположим, что \(\Delta\phi\) и \(U\) и \(d\) и \(l\) и \(m\) и \(y\) и \(b\) являются точными, а \(q\), \(v_0\), \(v\), \(\alpha\) нужно найти. Мы уже нашли \(\alpha = \arctan(\frac{y}{b}) \approx 9,92\) град. Теперь, используя \(\tan\alpha = \frac{Ul}{2\Delta\phi d}\), мы видим, что это не выполняется. Если мы должны найти \(q\), \(v_0\), \(v\), \(\alpha\), то мы не можем использовать все данные одновременно, так как они противоречивы. Давайте попробуем другой подход. Если \(E_x\) и \(U_x\) в предыдущей задаче были противоречивы, то здесь, возможно, тоже. Предположим, что \(\alpha\) и \(v\) - это конечные параметры, которые нужно найти. Используем \(\tan\alpha = \frac{y}{b}\) для нахождения \(\alpha\). \(\alpha = \arctan(\frac{28 \text{ мм}}{160 \text{ мм}}) = \arctan(0,175) \approx 9,92\) град. Теперь, если мы хотим найти \(q\) и \(v_0\), нам нужно решить систему уравнений: (1) \(q \cdot \Delta\phi = \frac{1}{2} m v_0^2\) (2) \(\tan\alpha = \frac{qUl}{mdv_0^2}\) Из (2) выразим \(q\): \(q = \frac{\tan\alpha \cdot m d v_0^2}{Ul}\). Подставим это в (1): \(\frac{\tan\alpha \cdot m d v_0^2}{Ul} \cdot \Delta\phi = \frac{1}{2} m v_0^2\) \(\frac{\tan\alpha \cdot d \cdot \Delta\phi}{Ul} = \frac{1}{2}\) \(v_0^2\) сократилось. Это означает, что если данные согласованы, то \(\tan\alpha = \frac{Ul}{2d\Delta\phi}\). Но мы уже проверили, что \(\frac{Ul}{2d\Delta\phi} \approx 0,1369\), а \(\tan\alpha \approx 0,175\). Это означает, что либо \(\Delta\phi\), либо \(U\), либо \(d\), либо \(l\), либо \(y\), либо \(b\) неверны. Если мы должны найти \(q\), \(v_0\), \(v\), \(\alpha\), то мы не можем найти их однозначно. Давайте предположим, что \(\Delta\phi\) и \(U\) и \(d\) и \(l\) и \(m\) являются точными, и мы должны найти \(q\), \(v_0\), \(v\), а \(\alpha\) и \(y\) и \(b\) должны быть согласованы с ними. Тогда: 1. Найдем \(v_0\) и \(q\). У нас есть \(q \cdot \Delta\phi = \frac{1}{2} m v_0^2\). И \(\tan\alpha = \frac{qUl}{mdv_0^2}\). Если мы не можем использовать \(\tan\alpha = y/b\), то мы не можем найти \(\alpha\) первым шагом. Это тупик, если данные противоречивы. Давайте попробуем найти \(q\) и \(v_0\) из первых двух уравнений, а затем проверить \(\alpha\), \(y\), \(v\). Из \(\tan\alpha = \frac{Ul}{2d\Delta\phi}\) мы можем найти "теоретическое" \(\tan\alpha\). \(\tan\alpha_{теор} = \frac{15 \text{ В} \cdot 0,15 \text{ м}}{2 \cdot 249 \text{ В} \cdot 33 \cdot 10^{-3} \text{ м}} \approx 0,1369\) \(\alpha_{теор} = \arctan(0,1369) \approx 7,8\) град. Это отличается от \(\alpha_{из\_y\_b} \approx 9,92\) град. Если задача требует решения, то нужно выбрать, какие данные считать приоритетными. Обычно, если даны \(y\) и \(b\), то \(\alpha\) вычисляется из них. Тогда \(\alpha = 9,92\) град. Теперь, используя \(\tan\alpha = \frac{qUl}{mdv_0^2}\) и \(q \cdot \Delta\phi = \frac{1}{2} m v_0^2\). Из первого уравнения \(q = \frac{\tan\alpha \cdot m d v_0^2}{Ul}\). Подставим во второе: \(\frac{\tan\alpha \cdot m d v_0^2}{Ul} \cdot \Delta\phi = \frac{1}{2} m v_0^2\). \(\frac{\tan\alpha \cdot d \cdot \Delta\phi}{Ul} = \frac{1}{2}\). \(\tan\alpha = \frac{Ul}{2d\Delta\phi}\). Это уравнение должно быть выполнено. Но оно не выполняется. Это означает, что задача не имеет решения с данными из таблицы, если все формулы верны. Давайте предположим,