Решение Тригонометрической Задачи: sin α и tg α

Хорошо, давайте решим эти тригонометрические задачи. Задача 1. Дано: \[ \cos \alpha = \frac{5}{13} \] \[ \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi \] Найти: \(\sin \alpha\) и \(\text{tg} \alpha\). Решение: 1. Найдем \(\sin \alpha\). Используем основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] Подставим значение \(\cos \alpha\): \[ \sin^2 \alpha + \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 \alpha + \frac{25}{169} = 1 \] \[ \sin^2 \alpha = 1 - \frac{25}{169} \] \[ \sin^2 \alpha = \frac{169 - 25}{169} \] \[ \sin^2 \alpha = \frac{144}{169} \] Извлечем квадратный корень: \[ \sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{144}{169}} \] \[ \sin \alpha = \pm \frac{12}{13} \] Теперь определим знак \(\sin \alpha\). Нам дано, что \(\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi\). Это четвертая четверть. В четвертой четверти синус отрицателен. Значит, \[ \sin \alpha = -\frac{12}{13} \] 2. Найдем \(\text{tg} \alpha\). Используем определение тангенса: \[ \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \] Подставим найденные значения \(\sin \alpha\) и данное \(\cos \alpha\): \[ \text{tg} \alpha = \frac{-\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}} \] \[ \text{tg} \alpha = -\frac{12}{13} \cdot \frac{13}{5} \] \[ \text{tg} \alpha = -\frac{12}{5} \] \[ \text{tg} \alpha = -2,4 \] Ответ к первой задаче: \[ \sin \alpha = -\frac{12}{13} \] \[ \text{tg} \alpha = -2,4 \] Задача 2. Дано: \[ \sin \alpha = 0,8 \] \[ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \] Найти: \(\cos \alpha\) и \(\text{tg} \alpha\). Решение: 1. Найдем \(\cos \alpha\). Используем основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] Подставим значение \(\sin \alpha\): \[ (0,8)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ 0,64 + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \cos^2 \alpha = 1 - 0,64 \] \[ \cos^2 \alpha = 0,36 \] Извлечем квадратный корень: \[ \cos \alpha = \pm \sqrt{0,36} \] \[ \cos \alpha = \pm 0,6 \] Теперь определим знак \(\cos \alpha\). Нам дано, что \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\). Это вторая четверть. Во второй четверти косинус отрицателен. Значит, \[ \cos \alpha = -0,6 \] 2. Найдем \(\text{tg} \alpha\). Используем определение тангенса: \[ \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \] Подставим данные \(\sin \alpha\) и найденное \(\cos \alpha\): \[ \text{tg} \alpha = \frac{0,8}{-0,6} \] \[ \text{tg} \alpha = -\frac{8}{6} \] \[ \text{tg} \alpha = -\frac{4}{3} \] \[ \text{tg} \alpha \approx -1,333... \] Ответ ко второй задаче: \[ \cos \alpha = -0,6 \] \[ \text{tg} \alpha = -\frac{4}{3} \] Задача 3. Дано: \[ \text{tg} \alpha = -2,4 \] \[ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \] Найти: \(\sin \alpha\) и \(\cos \alpha\). Решение: 1. Найдем \(\cos \alpha\). Используем формулу, связывающую тангенс и косинус: \[ 1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \] Подставим значение \(\text{tg} \alpha\): \[ 1 + (-2,4)^2 = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \] \[ 1 + 5,76 = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \] \[ 6,76 = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \] \[ \cos^2 \alpha = \frac{1}{6,76} \] \[ \cos^2 \alpha = \frac{100}{676} \] Извлечем квадратный корень: \[ \cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{100}{676}} \] \[ \cos \alpha = \pm \frac{10}{26} \] \[ \cos \alpha = \pm \frac{5}{13} \] Теперь определим знак \(\cos \alpha\). Нам дано, что \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\). Это вторая четверть. Во второй четверти косинус отрицателен. Значит, \[ \cos \alpha = -\frac{5}{13} \] 2. Найдем \(\sin \alpha\). Используем определение тангенса: \[ \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \] Выразим \(\sin \alpha\): \[ \sin \alpha = \text{tg} \alpha \cdot \cos \alpha \] Подставим данные \(\text{tg} \alpha\) и найденное \(\cos \alpha\): \[ \sin \alpha = (-2,4) \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) \] \[ \sin \alpha = \left(-\frac{24}{10}\right) \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) \] \[ \sin \alpha = \left(-\frac{12}{5}\right) \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) \] \[ \sin \alpha = \frac{12 \cdot 5}{5 \cdot 13} \] \[ \sin \alpha = \frac{12}{13} \] Проверим знак \(\sin \alpha\). Во второй четверти синус положителен, что соответствует нашему результату. Ответ к третьей задаче: \[ \sin \alpha = \frac{12}{13} \] \[ \cos \alpha = -\frac{5}{13} \]