Вариант 2
1. Решите неравенство:
а) \(2x^2 - x - 15 > 0\)
Решение:
Найдем корни квадратного уравнения \(2x^2 - x - 15 = 0\).
Дискриминант \(D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 1 + 120 = 121\).
Корни уравнения:
\(x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 11}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5\)
\(x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 11}{4} = \frac{12}{4} = 3\)
Так как коэффициент при \(x^2\) (то есть \(a=2\)) положительный, парабола направлена ветвями вверх. Неравенство \(2x^2 - x - 15 > 0\) выполняется, когда \(x\) находится вне интервала между корнями.
Ответ: \(x \in (-\infty; -2.5) \cup (3; +\infty)\)
б) \(x^2 < 16\)
Решение:
\(x^2 - 16 < 0\)
\((x - 4)(x + 4) < 0\)
Корни уравнения \(x^2 - 16 = 0\) это \(x = -4\) и \(x = 4\).
Так как коэффициент при \(x^2\) (то есть \(a=1\)) положительный, парабола направлена ветвями вверх. Неравенство \(x^2 - 16 < 0\) выполняется, когда \(x\) находится между корнями.
Ответ: \(x \in (-4; 4)\)
2. Решите неравенство методом интервалов:
а) \((x + 11)(x + 2)(x - 9) < 0\)
Решение:
Найдем корни выражения, при которых оно равно нулю:
\(x + 11 = 0 \Rightarrow x = -11\)
\(x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2\)
\(x - 9 = 0 \Rightarrow x = 9\)
Отметим эти точки на числовой прямой и определим знак выражения в каждом интервале.
Интервалы: \((-\infty; -11)\), \((-11; -2)\), \((-2; 9)\), \((9; +\infty)\).
Возьмем пробные точки:
- Для \((-\infty; -11)\), например \(x = -12\): \((-12+11)(-12+2)(-12-9) = (-1)(-10)(-21) = -210 < 0\).
- Для \((-11; -2)\), например \(x = -3\): \((-3+11)(-3+2)(-3-9) = (8)(-1)(-12) = 96 > 0\).
- Для \((-2; 9)\), например \(x = 0\): \((0+11)(0+2)(0-9) = (11)(2)(-9) = -198 < 0\).
- Для \((9; +\infty)\), например \(x = 10\): \((10+11)(10+2)(10-9) = (21)(12)(1) = 252 > 0\).
Неравенство \((x + 11)(x + 2)(x - 9) < 0\) выполняется в интервалах, где знак отрицательный.
Ответ: \(x \in (-\infty; -11) \cup (-2; 9)\)
б) \(\frac{x+3}{x-8} > 0\)
Решение:
Найдем точки, в которых числитель или знаменатель равны нулю:
\(x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3\)
\(x - 8 = 0 \Rightarrow x = 8\) (знаменатель не может быть равен нулю, поэтому \(x \neq 8\))
Отметим эти точки на числовой прямой и определим знак выражения в каждом интервале.
Интервалы: \((-\infty; -3)\), \((-3; 8)\), \((8; +\infty)\).
Возьмем пробные точки:
- Для \((-\infty; -3)\), например \(x = -4\): \(\frac{-4+3}{-4-8} = \frac{-1}{-12} = \frac{1}{12} > 0\).
- Для \((-3; 8)\), например \(x = 0\): \(\frac{0+3}{0-8} = \frac{3}{-8} = -\frac{3}{8} < 0\).
- Для \((8; +\infty)\), например \(x = 9\): \(\frac{9+3}{9-8} = \frac{12}{1} = 12 > 0\).
Неравенство \(\frac{x+3}{x-8} > 0\) выполняется в интервалах, где знак положительный.
Ответ: \(x \in (-\infty; -3) \cup (8; +\infty)\)
3. Решите уравнения:
а) \(x^4 - 4x^2 - 45 = 0\)
Решение:
Это биквадратное уравнение. Сделаем замену \(t = x^2\), где \(t \ge 0\).
Уравнение примет вид: \(t^2 - 4t - 45 = 0\)
Найдем корни квадратного уравнения для \(t\).
Дискриминант \(D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45) = 16 + 180 = 196\).
\(\sqrt{D} = \sqrt{196} = 14\).
\(t_1 = \frac{-(-4) - 14}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 14}{2} = \frac{-10}{2} = -5\)
\(t_2 = \frac{-(-4) + 14}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 14}{2} = \frac{18}{2} = 9\)
Возвращаемся к замене \(t = x^2\).
Случай 1: \(x^2 = t_1 = -5\). Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.
Случай 2: \(x^2 = t_2 = 9\). Из этого следует \(x = \pm\sqrt{9}\).
\(x_1 = -3\)
\(x_2 = 3\)
Ответ: \(x = -3; x = 3\)
б) \(x^3 - 25x = 0\)
Решение:
Вынесем общий множитель \(x\) за скобки:
\(x(x^2 - 25) = 0\)
Это уравнение распадается на два случая:
Случай 1: \(x = 0\)
Случай 2: \(x^2 - 25 = 0\)
\(x^2 = 25\)
\(x = \pm\sqrt{25}\)
\(x_1 = -5\)
\(x_2 = 5\)
Ответ: \(x = -5; x = 0; x = 5\)
в) \(\frac{3y+2}{4y^2+y} + \frac{y-3}{16y^2-1} = \frac{3}{4y-1}\)
Решение:
Сначала разложим знаменатели на множители:
\(4y^2+y = y(4y+1)\)
\(16y^2-1 = (4y)^2-1^2 = (4y-1)(4y+1)\)
Перепишем уравнение:
\(\frac{3y+2}{y(4y+1)} + \frac{y-3}{(4y-1)(4y+1)} = \frac{3}{4y-1}\)
Общий знаменатель: \(y(4y+1)(4y-1)\).
Ограничения на \(y\): \(y \neq 0\), \(4y+1 \neq 0 \Rightarrow y \neq -\frac{1}{4}\), \(4y-1 \neq 0 \Rightarrow y \neq \frac{1}{4}\).
Приведем все дроби к общему знаменателю:
\(\frac{(3y+2)(4y-1)}{y(4y+1)(4y-1)} + \frac{(y-3)y}{y(4y+1)(4y-1)} = \frac{3y(4y+1)}{y(4y+1)(4y-1)}\)
Теперь можем приравнять числители:
\((3y+2)(4y-1) + y(y-3) = 3y(4y+1)\)
Раскроем скобки:
\(12y^2 - 3y + 8y - 2 + y^2 - 3y = 12y^2 + 3y\)
Приведем подобные члены в левой части:
\(13y^2 + 2y - 2 = 12y^2 + 3y\)
Перенесем все члены в одну сторону:
\(13y^2 - 12y^2 + 2y - 3y - 2 = 0\)
\(y^2 - y - 2 = 0\)
Найдем корни квадратного уравнения для \(y\).
Дискриминант \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\).
\(\sqrt{D} = \sqrt{9} = 3\).
\(y_1 = \frac{-(-1) - 3}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1\)
\(y_2 = \frac{-(-1) + 3}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2\)
Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ограничениям:
\(y_1 = -1\): \( -1 \neq 0\), \(4(-1)+1 = -3 \neq 0\), \(4(-1)-1 = -5 \neq 0\). Корень подходит.
\(y_2 = 2\): \( 2 \neq 0\), \(4(2)+1 = 9 \neq 0\), \(4(2)-1 = 7 \neq 0\). Корень подходит.
Ответ: \(y = -1; y = 2\)
4. При каких значениях \(n\) уравнение \(2x^2 + nx + 8 = 0\) не имеет корней?
Решение:
Квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\) не имеет действительных корней, если его дискриминант \(D < 0\).
В данном уравнении \(a = 2\), \(b = n\), \(c = 8\).
Дискриминант \(D = b^2 - 4ac = n^2 - 4 \cdot 2 \cdot 8 = n^2 - 64\).
Для того чтобы уравнение не имело корней, должно выполняться условие \(D < 0\):
\(n^2 - 64 < 0\)
\(n^2 < 64\)
Это неравенство можно решить, взяв квадратный корень из обеих частей (с учетом знака):
\(-\sqrt{64} < n < \sqrt{64}\)
\(-8 < n < 8\)
Ответ: Уравнение не имеет корней при \(n \in (-8; 8)\).