Решение примера на нахождение производной функции

Ниже представлено подробное решение двух примеров на нахождение производных функций, оформленное для переписывания в тетрадь. Пример 1. Найти производную функции: \[ y = \sqrt[4]{x} \cdot \text{arcctg } x \] Решение: Для решения используем правило производной произведения \( (u \cdot v)' = u'v + uv' \) и табличные значения производных: \[ (\sqrt[n]{x})' = \frac{1}{n \sqrt[n]{x^{n-1}}}, \quad (\text{arcctg } x)' = -\frac{1}{1+x^2} \] Применим эти формулы: \[ y' = (\sqrt[4]{x})' \cdot \text{arcctg } x + \sqrt[4]{x} \cdot (\text{arcctg } x)' \] \[ y' = \frac{1}{4 \sqrt[4]{x^3}} \cdot \text{arcctg } x + \sqrt[4]{x} \cdot \left( -\frac{1}{1+x^2} \right) \] \[ y' = \frac{\text{arcctg } x}{4 \sqrt[4]{x^3}} - \frac{\sqrt[4]{x}}{1+x^2} \] Ответ: \( y' = \frac{\text{arcctg } x}{4 \sqrt[4]{x^3}} - \frac{\sqrt[4]{x}}{1+x^2} \) Пример 2. Найти производную функции: \[ y = \frac{x^2 + x^4 + 3}{x^3} \] Решение: Для упрощения вычислений сначала почленно разделим числитель на знаменатель: \[ y = \frac{x^2}{x^3} + \frac{x^4}{x^3} + \frac{3}{x^3} \] \[ y = \frac{1}{x} + x + 3x^{-3} \] \[ y = x^{-1} + x + 3x^{-3} \] Теперь найдем производную, используя правило \( (x^n)' = n \cdot x^{n-1} \): \[ y' = (x^{-1})' + (x)' + (3x^{-3})' \] \[ y' = -1 \cdot x^{-2} + 1 + 3 \cdot (-3) \cdot x^{-4} \] \[ y' = -\frac{1}{x^2} + 1 - \frac{9}{x^4} \] Приведем к общему знаменателю \( x^4 \): \[ y' = \frac{-x^2 + x^4 - 9}{x^4} = \frac{x^4 - x^2 - 9}{x^4} \] Ответ: \( y' = \frac{x^4 - x^2 - 9}{x^4} \)