Задача 1
Дано:
Окружность с центром \(O\).
\(AB\) и \(CD\) — диаметры.
\(AD = 7,5\) см.
Найти: \(CB\).
Решение:
1. Рассмотрим треугольники \(\triangle AOD\) и \(\triangle COB\).
2. Так как \(AB\) и \(CD\) — диаметры окружности, то \(AO = OB = CO = OD\) как радиусы одной и той же окружности.
3. Углы \(\angle AOD\) и \(\angle COB\) являются вертикальными углами, так как они образованы пересечением двух прямых \(AB\) и \(CD\).
4. По свойству вертикальных углов, \(\angle AOD = \angle COB\).
5. Таким образом, в треугольниках \(\triangle AOD\) и \(\triangle COB\):
- \(AO = OB\) (как радиусы)
- \(OD = OC\) (как радиусы)
- \(\angle AOD = \angle COB\) (как вертикальные углы)
6. Следовательно, треугольники \(\triangle AOD\) и \(\triangle COB\) равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
7. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон. Значит, \(AD = CB\).
8. Поскольку \(AD = 7,5\) см, то \(CB = 7,5\) см.
Ответ: \(CB = 7,5\) см.
Задача 2
Дано:
Окружность с центром \(O\).
\(AB\) и \(CD\) — хорды.
\(AB = CD\).
Доказать: \(\triangle AOB = \triangle COD\).
Доказательство:
1. Рассмотрим треугольники \(\triangle AOB\) и \(\triangle COD\).
2. Стороны \(OA\), \(OB\), \(OC\), \(OD\) являются радиусами одной и той же окружности.
3. По определению радиуса, все радиусы одной окружности равны между собой. Следовательно, \(OA = OB = OC = OD\).
4. Из условия задачи нам дано, что хорды \(AB\) и \(CD\) равны, то есть \(AB = CD\).
5. Таким образом, в треугольниках \(\triangle AOB\) и \(\triangle COD\):
- \(OA = OC\) (как радиусы)
- \(OB = OD\) (как радиусы)
- \(AB = CD\) (по условию)
6. Следовательно, треугольники \(\triangle AOB\) и \(\triangle COD\) равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).
Что и требовалось доказать.