school
Общие знания
verified
Решено AI
Решение задачи: Найти наибольшее и наименьшее значения функции
help_outline
Условие задачи
Реши 2 задание
lightbulb
Краткий ответ
Находим наибольшее и наименьшее значения функций y = 2 - 5sin(x)cos(x) и y = 3 + (1/4)sin^2(x) - (1/4)cos^2(x) используя тригонометрические преобразования и свойства синуса и косинуса. Решение с подробным объяснением.
Подробное решение
Хорошо, давайте решим второе задание.
2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
а) \(y = 2 - 5\sin x \cos x\);
б) \(y = 3 + \frac{1}{4}\sin^2 x - \frac{1}{4}\cos^2 x\)
---
Решение:
а) Для функции \(y = 2 - 5\sin x \cos x\)
Сначала преобразуем выражение \(5\sin x \cos x\). Мы знаем формулу двойного угла для синуса: \(\sin(2x) = 2\sin x \cos x\).
Значит, \(\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)\).
Подставим это в нашу функцию:
\(y = 2 - 5 \cdot \frac{1}{2}\sin(2x)\)
\(y = 2 - \frac{5}{2}\sin(2x)\)
Теперь нам нужно найти наибольшее и наименьшее значения этой функции.
Мы знаем, что функция \(\sin(2x)\) принимает значения в диапазоне от \(-1\) до \(1\), то есть:
\(-1 \le \sin(2x) \le 1\)
Умножим все части неравенства на \(-\frac{5}{2}\). При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
\(-1 \cdot \left(-\frac{5}{2}\right) \ge -\frac{5}{2}\sin(2x) \ge 1 \cdot \left(-\frac{5}{2}\right)\)
\(\frac{5}{2} \ge -\frac{5}{2}\sin(2x) \ge -\frac{5}{2}\)
Перепишем в более привычном порядке:
\(-\frac{5}{2} \le -\frac{5}{2}\sin(2x) \le \frac{5}{2}\)
Теперь прибавим \(2\) ко всем частям неравенства:
\(2 - \frac{5}{2} \le 2 - \frac{5}{2}\sin(2x) \le 2 + \frac{5}{2}\)
\(2 - 2.5 \le y \le 2 + 2.5\)
\(-0.5 \le y \le 4.5\)
Таким образом, наибольшее значение функции равно \(4.5\), а наименьшее значение равно \(-0.5\).
Ответ:
Наибольшее значение функции: \(y_{max} = 4.5\)
Наименьшее значение функции: \(y_{min} = -0.5\)
---
б) Для функции \(y = 3 + \frac{1}{4}\sin^2 x - \frac{1}{4}\cos^2 x\)
Вынесем общий множитель \(\frac{1}{4}\) за скобки:
\(y = 3 + \frac{1}{4}(\sin^2 x - \cos^2 x)\)
Мы знаем формулу двойного угла для косинуса: \(\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x\).
Значит, \(\sin^2 x - \cos^2 x = -(\cos^2 x - \sin^2 x) = -\cos(2x)\).
Подставим это в нашу функцию:
\(y = 3 + \frac{1}{4}(-\cos(2x))\)
\(y = 3 - \frac{1}{4}\cos(2x)\)
Теперь нам нужно найти наибольшее и наименьшее значения этой функции.
Мы знаем, что функция \(\cos(2x)\) принимает значения в диапазоне от \(-1\) до \(1\), то есть:
\(-1 \le \cos(2x) \le 1\)
Умножим все части неравенства на \(-\frac{1}{4}\). При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
\(-1 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) \ge -\frac{1}{4}\cos(2x) \ge 1 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)\)
\(\frac{1}{4} \ge -\frac{1}{4}\cos(2x) \ge -\frac{1}{4}\)
Перепишем в более привычном порядке:
\(-\frac{1}{4} \le -\frac{1}{4}\cos(2x) \le \frac{1}{4}\)
Теперь прибавим \(3\) ко всем частям неравенства:
\(3 - \frac{1}{4} \le 3 - \frac{1}{4}\cos(2x) \le 3 + \frac{1}{4}\)
\(3 - 0.25 \le y \le 3 + 0.25\)
\(2.75 \le y \le 3.25\)
Таким образом, наибольшее значение функции равно \(3.25\), а наименьшее значение равно \(2.75\).
Ответ:
Наибольшее значение функции: \(y_{max} = 3.25\)
Наименьшее значение функции: \(y_{min} = 2.75\)