Решение неравенства sin(x) > -√3/2 на отрезке [-3π/2; π]

Хорошо, давайте решим первое задание. 1. Изобразить схематически график функции \(y = \sin x\) на отрезке \(\left[-\frac{3\pi}{2}; \pi\right]\). Найти значения \(x\) из данного отрезка, при которых \(y > -\frac{\sqrt{3}}{2}\). --- Решение: 1. Построение графика функции \(y = \sin x\) на отрезке \(\left[-\frac{3\pi}{2}; \pi\right]\). * График синуса — это волна, проходящая через начало координат. * Основные точки для построения: * \(x = -\frac{3\pi}{2}\): \(\sin\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = \sin\left(-\frac{3\pi}{2} + 2\pi\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1\). Точка \(\left(-\frac{3\pi}{2}; 1\right)\). * \(x = -\pi\): \(\sin(-\pi) = 0\). Точка \((-\pi; 0)\). * \(x = -\frac{\pi}{2}\): \(\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1\). Точка \(\left(-\frac{\pi}{2}; -1\right)\). * \(x = 0\): \(\sin(0) = 0\). Точка \((0; 0)\). * \(x = \frac{\pi}{2}\): \(\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1\). Точка \(\left(\frac{\pi}{2}; 1\right)\). * \(x = \pi\): \(\sin(\pi) = 0\). Точка \((\pi; 0)\). * Схематический график будет выглядеть как часть синусоиды, начинающаяся в точке \(\left(-\frac{3\pi}{2}; 1\right)\), проходящая через \((-\pi; 0)\), \(\left(-\frac{\pi}{2}; -1\right)\), \((0; 0)\), \(\left(\frac{\pi}{2}; 1\right)\) и заканчивающаяся в точке \((\pi; 0)\). (Представьте себе график синуса. Ось X от \(-270^\circ\) до \(180^\circ\). Ось Y от \(-1\) до \(1\). График начинается сверху, идет вниз до \(-1\) в \(-90^\circ\), поднимается до \(0\) в \(0^\circ\), до \(1\) в \(90^\circ\) и заканчивается в \(0\) в \(180^\circ\)). 2. Найти значения \(x\) из данного отрезка, при которых \(y > -\frac{\sqrt{3}}{2}\). Нам нужно решить неравенство \(\sin x > -\frac{\sqrt{3}}{2}\) на отрезке \(\left[-\frac{3\pi}{2}; \pi\right]\). Сначала найдем значения \(x\), при которых \(\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\). Общие решения уравнения \(\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) это: \(x_1 = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\) \(x_2 = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\) Теперь найдем эти точки на нашем отрезке \(\left[-\frac{3\pi}{2}; \pi\right]\). * Для \(x_1 = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k\): * При \(k=0\): \(x = -\frac{\pi}{3}\). Это значение входит в отрезок \(\left[-\frac{3\pi}{2}; \pi\right]\) (так как \(-\frac{3\pi}{2} = -1.5\pi\), а \(-\frac{\pi}{3} \approx -0.33\pi\)). * Для \(x_2 = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k\): * При \(k=0\): \(x = -\frac{2\pi}{3}\). Это значение также входит в отрезок \(\left[-\frac{3\pi}{2}; \pi\right]\) (так как \(-\frac{2\pi}{3} \approx -0.67\pi\)). Итак, на отрезке \(\left[-\frac{3\pi}{2}; \pi\right]\) у нас есть две точки, где \(\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\): \(x = -\frac{2\pi}{3}\) и \(x = -\frac{\pi}{3}\). Теперь посмотрим на график синуса. Нам нужно найти интервалы, где график функции \(y = \sin x\) находится выше прямой \(y = -\frac{\sqrt{3}}{2}\). Рассмотрим наш отрезок \(\left[-\frac{3\pi}{2}; \pi\right]\): * Начало отрезка: \(x = -\frac{3\pi}{2}\). \(\sin\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = 1\). Это значение больше \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\). * Двигаемся от \(-\frac{3\pi}{2}\) вправо. Функция \(\sin x\) убывает от \(1\) до \(0\) (в \(-\pi\)), затем до \(-1\) (в \(-\frac{\pi}{2}\)). * В точке \(x = -\frac{2\pi}{3}\) (\(-120^\circ\)) \(\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\). До этой точки синус был больше \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\). * Между \(-\frac{2\pi}{3}\) и \(-\frac{\pi}{3}\) (\(-60^\circ\)) синус меньше \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) (например, в \(-\frac{\pi}{2}\) он равен \(-1\)). * В точке \(x = -\frac{\pi}{3}\) \(\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\). После этой точки синус снова становится больше \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\). * Далее синус возрастает до \(0\) (в \(0\)), до \(1\) (в \(\frac{\pi}{2}\)) и убывает до \(0\) (в \(\pi\)). Все эти значения больше \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\). Таким образом, на отрезке \(\left[-\frac{3\pi}{2}; \pi\right]\) неравенство \(\sin x > -\frac{\sqrt{3}}{2}\) выполняется на следующих интервалах: 1. От \(- \frac{3\pi}{2}\) до \(- \frac{2\pi}{3}\) (не включая \(- \frac{2\pi}{3}\), так как неравенство строгое). 2. От \(- \frac{\pi}{3}\) до \(\pi\) (не включая \(- \frac{\pi}{3}\), но включая \(\pi\), так как \(\sin(\pi) = 0 > -\frac{\sqrt{3}}{2}\)). Объединяем эти интервалы: \(x \in \left[-\frac{3\pi}{2}; -\frac{2\pi}{3}\right) \cup \left(-\frac{\pi}{3}; \pi\right]\) Ответ: Значения \(x\), при которых \(y > -\frac{\sqrt{3}}{2}\) на отрезке \(\left[-\frac{3\pi}{2}; \pi\right]\), это: \(x \in \left[-\frac{3\pi}{2}; -\frac{2\pi}{3}\right) \cup \left(-\frac{\pi}{3}; \pi\right]\)