Решение задачи №1. Контрольная работа №2. Вариант 2

Вот решение задач из контрольной работы. Контрольная работа №2 по теме "Статистика. Множества" Вариант 2 №1 Дан числовой набор: \(6; -5; 4; -3; 2\). Найдите для этого набора: а) среднее арифметическое; б) медиану; в) размах; г) отклонение; д) дисперсию. Решение: Сначала упорядочим числовой набор по возрастанию: \(-5; -3; 2; 4; 6\). а) Среднее арифметическое (обозначается как \(\bar{x}\)) - это сумма всех чисел, деленная на их количество. Количество чисел в наборе \(n = 5\). \[\bar{x} = \frac{6 + (-5) + 4 + (-3) + 2}{5} = \frac{6 - 5 + 4 - 3 + 2}{5} = \frac{4}{5} = 0.8\] Ответ: Среднее арифметическое равно \(0.8\). б) Медиана (обозначается как \(Me\)) - это число, которое находится в середине упорядоченного набора данных. Если количество чисел нечетное, медиана - это среднее число. Если количество чисел четное, медиана - это среднее арифметическое двух средних чисел. В нашем случае набор \(-5; -3; 2; 4; 6\) содержит \(5\) чисел (нечетное количество). Среднее число - это третье число в упорядоченном наборе. Медиана равна \(2\). Ответ: Медиана равна \(2\). в) Размах (обозначается как \(R\)) - это разность между наибольшим и наименьшим значением в наборе. Наибольшее значение: \(6\). Наименьшее значение: \(-5\). \[R = 6 - (-5) = 6 + 5 = 11\] Ответ: Размах равен \(11\). г) Отклонение (или среднее абсолютное отклонение) - это среднее арифметическое абсолютных значений разностей между каждым числом набора и средним арифметическим. Сначала найдем разности между каждым числом и средним арифметическим \(\bar{x} = 0.8\): \(6 - 0.8 = 5.2\) \(-5 - 0.8 = -5.8\) \(4 - 0.8 = 3.2\) \(-3 - 0.8 = -3.8\) \(2 - 0.8 = 1.2\) Теперь найдем абсолютные значения этих разностей: \(|5.2| = 5.2\) \(|-5.8| = 5.8\) \(|3.2| = 3.2\) \(|-3.8| = 3.8\) \(|1.2| = 1.2\) Среднее абсолютное отклонение (обозначается как \(MAD\)) равно: \[MAD = \frac{5.2 + 5.8 + 3.2 + 3.8 + 1.2}{5} = \frac{19.2}{5} = 3.84\] Ответ: Отклонение (среднее абсолютное отклонение) равно \(3.84\). д) Дисперсия (обозначается как \(\sigma^2\)) - это среднее арифметическое квадратов отклонений каждого значения от среднего арифметического. Сначала найдем квадраты разностей между каждым числом и средним арифметическим \(\bar{x} = 0.8\): \((6 - 0.8)^2 = (5.2)^2 = 27.04\) \((-5 - 0.8)^2 = (-5.8)^2 = 33.64\) \((4 - 0.8)^2 = (3.2)^2 = 10.24\) \((-3 - 0.8)^2 = (-3.8)^2 = 14.44\) \((2 - 0.8)^2 = (1.2)^2 = 1.44\) Теперь найдем сумму этих квадратов: \(27.04 + 33.64 + 10.24 + 14.44 + 1.44 = 86.8\) Дисперсия равна: \[\sigma^2 = \frac{86.8}{5} = 17.36\] Ответ: Дисперсия равна \(17.36\). №2 Записан рост (в сантиметрах) пяти учащихся: \(168, 146, 132, 130, 134\). На сколько отличается среднее арифметическое этого набора чисел от его медианы? Решение: Сначала упорядочим набор роста по возрастанию: \(130, 132, 134, 146, 168\). Найдем среднее арифметическое (\(\bar{x}\)): \[\bar{x} = \frac{168 + 146 + 132 + 130 + 134}{5} = \frac{710}{5} = 142\] Среднее арифметическое равно \(142\). Найдем медиану (\(Me\)). Количество чисел \(n = 5\) (нечетное). Медиана - это среднее число в упорядоченном наборе. Медиана равна \(134\). Найдем, на сколько отличается среднее арифметическое от медианы: \[|\bar{x} - Me| = |142 - 134| = |8| = 8\] Ответ: Среднее арифметическое отличается от медианы на \(8\). №3 Найдите объединение и пересечение множеств \(A\) и \(B\), если \(A = \{9, 10, 11, 13\}\); \(B = \{8, 7, 5, 9, 10\}\). Решение: Объединение множеств \(A \cup B\) - это множество, содержащее все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств \(A\) или \(B\). \[A \cup B = \{5, 7, 8, 9, 10, 11, 13\}\] (Элементы записываются в порядке возрастания для удобства, но это не обязательно). Пересечение множеств \(A \cap B\) - это множество, содержащее только те элементы, которые принадлежат обоим множествам \(A\) и \(B\). Элементы, которые есть и в \(A\), и в \(B\), это \(9\) и \(10\). \[A \cap B = \{9, 10\}\] Ответ: Объединение множеств \(A \cup B = \{5, 7, 8, 9, 10, 11, 13\}\). Пересечение множеств \(A \cap B = \{9, 10\}\). №4 Составьте не менее трёх слов, буквы которых образуют подмножество множества \(A = \{\text{к, о, р, а, б, л, п}\}\)? Решение: Множество \(A\) содержит буквы: к, о, р, а, б, л, п. Нужно составить слова, используя только эти буквы. Примеры слов: 1. "кора" (буквы: к, о, р, а - все есть в \(A\)) 2. "полк" (буквы: п, о, л, к - все есть в \(A\)) 3. "брак" (буквы: б, р, а, к - все есть в \(A\)) 4. "лапа" (буквы: л, а, п, а - все есть в \(A\)) 5. "роба" (буквы: р, о, б, а - все есть в \(A\)) 6. "балка" (буквы: б, а, л, к, а - все есть в \(A\)) Ответ: 1. кора 2. полк 3. брак