Задача № 2. Основания трапеции 1,8 см и 1,2 см. Боковые стороны, имеющие длины 1,5 см и 1,2 см, продолжены до взаимного пересечения. Найдите стороны треугольника.
Решение:
Пусть дана трапеция \(ABCD\), где \(AD\) и \(BC\) — основания. Пусть \(AD = 1,8\) см (большее основание) и \(BC = 1,2\) см (меньшее основание).
Боковые стороны трапеции: \(AB = 1,5\) см и \(CD = 1,2\) см.
Продолжим боковые стороны \(AB\) и \(CD\) до их пересечения в точке \(P\). В результате образуется треугольник \(APD\).
Треугольник \(BPC\) подобен треугольнику \(APD\) по двум углам (угол \(P\) — общий, а углы \(PBC\) и \(PAD\) равны как соответственные углы при параллельных прямых \(BC\) и \(AD\) и секущей \(AP\); аналогично углы \(PCB\) и \(PDA\) равны).
Из подобия треугольников следует отношение соответствующих сторон:
\[ \frac{BC}{AD} = \frac{PB}{PA} = \frac{PC}{PD} \]Подставим известные значения:
\[ \frac{1,2}{1,8} = \frac{PB}{PA} = \frac{PC}{PD} \]Упростим отношение оснований:
\[ \frac{1,2}{1,8} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3} \]Теперь запишем отношения для боковых сторон:
1. Для стороны \(AB\):
\[ \frac{PB}{PA} = \frac{2}{3} \]Мы знаем, что \(PA = PB + AB\). Подставим это в уравнение:
\[ \frac{PB}{PB + AB} = \frac{2}{3} \]Подставим значение \(AB = 1,5\) см:
\[ \frac{PB}{PB + 1,5} = \frac{2}{3} \]Решим это уравнение относительно \(PB\):
\[ 3 \cdot PB = 2 \cdot (PB + 1,5) \] \[ 3PB = 2PB + 3 \] \[ 3PB - 2PB = 3 \] \[ PB = 3 \]Итак, \(PB = 3\) см.
Теперь найдем сторону \(PA\) треугольника \(APD\):
\[ PA = PB + AB = 3 + 1,5 = 4,5 \]Значит, \(PA = 4,5\) см.
2. Для стороны \(CD\):
\[ \frac{PC}{PD} = \frac{2}{3} \]Мы знаем, что \(PD = PC + CD\). Подставим это в уравнение:
\[ \frac{PC}{PC + CD} = \frac{2}{3} \]Подставим значение \(CD = 1,2\) см:
\[ \frac{PC}{PC + 1,2} = \frac{2}{3} \]Решим это уравнение относительно \(PC\):
\[ 3 \cdot PC = 2 \cdot (PC + 1,2) \] \[ 3PC = 2PC + 2,4 \] \[ 3PC - 2PC = 2,4 \] \[ PC = 2,4 \]Итак, \(PC = 2,4\) см.
Теперь найдем сторону \(PD\) треугольника \(APD\):
\[ PD = PC + CD = 2,4 + 1,2 = 3,6 \]Значит, \(PD = 3,6\) см.
Стороны треугольника \(APD\) — это \(AD\), \(PA\) и \(PD\).
Мы знаем, что \(AD = 1,8\) см (это одно из оснований трапеции).
Ответ: Стороны треугольника, образованного продолжением боковых сторон трапеции, равны 1,8 см, 4,5 см и 3,6 см.