Решение задачи: расстояние от точки M до прямой DC

Решение задачи №2 из представленного листка (I уровень). Дано: \(ABCD\) — квадрат, \(MA \perp ABC\), \(MA = 5\), \(AB = 12\). Найти: \(d(M, DC)\) (расстояние от точки \(M\) до прямой \(DC\)). Решение: 1. Расстоянием от точки до прямой является длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. 2. Так как \(MA \perp ABC\), то \(MA\) перпендикулярна любой прямой в плоскости \(ABC\), следовательно, \(MA \perp AD\). 3. \(ABCD\) — квадрат, поэтому \(AD \perp DC\). 4. Рассмотрим отрезок \(MD\). По теореме о трех перпендикулярах: так как \(MA \perp (ABC)\), \(AD\) — проекция \(MD\) на плоскость \(ABC\), и \(AD \perp DC\), то и наклонная \(MD \perp DC\). 5. Значит, искомое расстояние \(d(M, DC) = MD\). 6. Из прямоугольного треугольника \(MAD\) (\(\angle MAD = 90^\circ\)) по теореме Пифагора: \[MD^2 = MA^2 + AD^2\] 7. Так как \(ABCD\) — квадрат, то \(AD = AB = 12\). 8. Подставляем значения: \[MD^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\] \[MD = \sqrt{169} = 13\] Ответ: 13. Решение задачи №6 (III уровень). Дано: \(ABCD\) — прямоугольник, \(MB \perp ABC\), \(MA = 10\), \(MC = 15\), \(MD = 17\). Найти: \(MB\). Решение: 1. Пусть \(MB = h\). Так как \(MB \perp (ABC)\), то треугольники \(MBA\), \(MBC\) и \(MBD\) — прямоугольные с прямым углом при вершине \(B\). 2. Из \(\triangle MBA\): \(AB^2 = MA^2 - MB^2 = 10^2 - h^2 = 100 - h^2\). 3. Из \(\triangle MBC\): \(BC^2 = MC^2 - MB^2 = 15^2 - h^2 = 225 - h^2\). 4. Из \(\triangle MBD\): \(BD^2 = MD^2 - MB^2 = 17^2 - h^2 = 289 - h^2\). 5. В прямоугольнике \(ABCD\) по свойству диагонали: \(BD^2 = AB^2 + BC^2\). 6. Подставляем выраженные стороны: \[289 - h^2 = (100 - h^2) + (225 - h^2)\] \[289 - h^2 = 325 - 2h^2\] \[2h^2 - h^2 = 325 - 289\] \[h^2 = 36\] \[h = \sqrt{36} = 6\] Ответ: 6.