Тема: «Степени и корни»
Вариант 2.
1. Вычислите: \(3 \cdot \sqrt[4]{16} - 4 \cdot \sqrt[3]{27}\)
Решение:
Сначала найдем значения корней:
\(\sqrt[4]{16} = 2\), так как \(2^4 = 16\).
\(\sqrt[3]{27} = 3\), так как \(3^3 = 27\).
Теперь подставим эти значения в выражение:
\(3 \cdot 2 - 4 \cdot 3 = 6 - 12 = -6\).
Ответ: \(-6\).
2. Найдите значение выражения: \(14 - \sqrt[4]{196} \cdot 14^{\frac{1}{2}}\)
Решение:
Заметим, что \(\sqrt[4]{196} = \sqrt[4]{14^2} = 14^{\frac{2}{4}} = 14^{\frac{1}{2}}\).
Также \(14^{\frac{1}{2}} = \sqrt{14}\).
Тогда выражение примет вид:
\(14 - 14^{\frac{1}{2}} \cdot 14^{\frac{1}{2}}\)
При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:
\(14^{\frac{1}{2}} \cdot 14^{\frac{1}{2}} = 14^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = 14^1 = 14\).
Теперь подставим это значение обратно в выражение:
\(14 - 14 = 0\).
Ответ: \(0\).
3. Найдите значение выражения: \(6 \cdot 49^{\frac{1}{2}} - 64^{\frac{1}{3}}\)
Решение:
Вспомним, что \(a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}\).
Тогда \(49^{\frac{1}{2}} = \sqrt{49} = 7\).
И \(64^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{64} = 4\), так как \(4^3 = 64\).
Теперь подставим эти значения в выражение:
\(6 \cdot 7 - 4 = 42 - 4 = 38\).
Ответ: \(38\).
4. Вычислите: \(\sqrt{10 - \sqrt{96}} \cdot \sqrt{10 + \sqrt{96}}\)
Решение:
Используем формулу разности квадратов: \((a - b)(a + b) = a^2 - b^2\).
В данном случае \(a = 10\) и \(b = \sqrt{96}\).
Тогда выражение под корнем будет:
\((10 - \sqrt{96})(10 + \sqrt{96}) = 10^2 - (\sqrt{96})^2 = 100 - 96 = 4\).
Теперь извлечем корень из полученного значения:
\(\sqrt{4} = 2\).
Ответ: \(2\).
5. Вычислите: \(4 \cdot \sqrt[3]{25} \cdot 2 \cdot \sqrt[3]{40}\)
Решение:
Сначала перемножим числовые коэффициенты и корни отдельно:
\((4 \cdot 2) \cdot (\sqrt[3]{25} \cdot \sqrt[3]{40})\)
\(8 \cdot \sqrt[3]{25 \cdot 40}\)
Вычислим произведение под корнем:
\(25 \cdot 40 = 1000\).
Теперь извлечем кубический корень из 1000:
\(\sqrt[3]{1000} = 10\), так как \(10^3 = 1000\).
Окончательно:
\(8 \cdot 10 = 80\).
Ответ: \(80\).
6. Вычислите: \(4 \cdot \sqrt[3]{\frac{540}{20}}\)
Решение:
Сначала упростим дробь под кубическим корнем:
\(\frac{540}{20} = \frac{54}{2} = 27\).
Теперь извлечем кубический корень из 27:
\(\sqrt[3]{27} = 3\), так как \(3^3 = 27\).
Окончательно:
\(4 \cdot 3 = 12\).
Ответ: \(12\).