Задача 3
Дано:
Количество вещества гелия \( \nu = 2 \) моль Начальное давление \( p = 10^5 \) Па Начальный объем \( V_1 = 2 \) л \( = 2 \cdot 10^{-3} \) м\(^3\) Конечный объем \( V_2 = 3 \) л \( = 3 \cdot 10^{-3} \) м\(^3\) Процесс изобарный (давление постоянное) Универсальная газовая постоянная \( R = 8.31 \) Дж/(моль\( \cdot \)К)Найти:
Изменение внутренней энергии \( \Delta U \) Работу газа \( A \) Количество теплоты \( Q \)Решение:
1. Определим изменение внутренней энергии \( \Delta U \). Для идеального одноатомного газа (гелий является одноатомным газом) изменение внутренней энергии определяется формулой: \[ \Delta U = \frac{3}{2} \nu R \Delta T \] где \( \Delta T \) - изменение температуры. Для изобарного процесса (постоянное давление) из уравнения Менделеева-Клапейрона \( pV = \nu RT \) следует, что \( p \Delta V = \nu R \Delta T \). Тогда \( \Delta T = \frac{p \Delta V}{\nu R} \). Подставим это выражение для \( \Delta T \) в формулу для \( \Delta U \): \[ \Delta U = \frac{3}{2} \nu R \left( \frac{p \Delta V}{\nu R} \right) = \frac{3}{2} p \Delta V \] Изменение объема \( \Delta V = V_2 - V_1 \). \[ \Delta V = 3 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 - 2 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 1 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 \] Теперь рассчитаем \( \Delta U \): \[ \Delta U = \frac{3}{2} \cdot 10^5 \text{ Па} \cdot 1 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = \frac{3}{2} \cdot 10^2 \text{ Дж} = 1.5 \cdot 10^2 \text{ Дж} = 150 \text{ Дж} \]
2. Определим работу газа \( A \). Для изобарного процесса работа газа определяется формулой: \[ A = p \Delta V \] Мы уже рассчитали \( p \) и \( \Delta V \): \[ A = 10^5 \text{ Па} \cdot 1 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 10^2 \text{ Дж} = 100 \text{ Дж} \]
3. Определим количество теплоты \( Q \). Согласно первому началу термодинамики, количество теплоты, сообщенное газу, равно сумме изменения его внутренней энергии и работы, совершенной газом: \[ Q = \Delta U + A \] Подставим найденные значения \( \Delta U \) и \( A \): \[ Q = 150 \text{ Дж} + 100 \text{ Дж} = 250 \text{ Дж} \]
Ответ:
Изменение внутренней энергии \( \Delta U = 150 \) Дж. Работа газа \( A = 100 \) Дж. Количество теплоты \( Q = 250 \) Дж.Задача 4
Дано:
Заряд 1: \( q_1 = 4 \) нКл \( = 4 \cdot 10^{-9} \) Кл Заряд 2: \( q_2 = -4 \) нКл \( = -4 \cdot 10^{-9} \) Кл Расстояние между зарядами \( d = 10 \) см \( = 0.1 \) м Расстояние от первого заряда до точки \( r_1 = 4 \) см \( = 0.04 \) м Расстояние от второго заряда до точки \( r_2 = 6 \) см \( = 0.06 \) м Электрическая постоянная \( k = 9 \cdot 10^9 \) Н\( \cdot \)м\(^2 \)/Кл\(^2 \)Найти:
Напряженность электрического поля \( E \) в точке Потенциал электрического поля \( \varphi \) в точкеРешение:
1. Определим положение точки. Заметим, что \( r_1 + r_2 = 0.04 \text{ м} + 0.06 \text{ м} = 0.1 \text{ м} \). Это равно расстоянию \( d \) между зарядами. Это означает, что точка находится на прямой, соединяющей заряды, между ними.
2. Рассчитаем напряженность электрического поля \( E \). Напряженность электрического поля, создаваемого точечным зарядом, определяется формулой: \[ E = k \frac{|q|}{r^2} \] Напряженность поля от заряда \( q_1 \) в данной точке: \[ E_1 = k \frac{|q_1|}{r_1^2} = 9 \cdot 10^9 \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2 \cdot \frac{4 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}}{(0.04 \text{ м})^2} \] \[ E_1 = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{4 \cdot 10^{-9}}{16 \cdot 10^{-4}} = 9 \cdot \frac{4}{16 \cdot 10^{-4}} = 9 \cdot \frac{1}{4 \cdot 10^{-4}} = \frac{9}{4} \cdot 10^4 = 2.25 \cdot 10^4 \text{ В/м} \] Напряженность поля от заряда \( q_2 \) в данной точке: \[ E_2 = k \frac{|q_2|}{r_2^2} = 9 \cdot 10^9 \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2 \cdot \frac{|-4 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}|}{(0.06 \text{ м})^2} \] \[ E_2 = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{4 \cdot 10^{-9}}{36 \cdot 10^{-4}} = 9 \cdot \frac{4}{36 \cdot 10^{-4}} = 9 \cdot \frac{1}{9 \cdot 10^{-4}} = \frac{1}{10^{-4}} = 1 \cdot 10^4 \text{ В/м} \] Поскольку \( q_1 \) положительный, вектор \( \vec{E_1} \) направлен от \( q_1 \) к точке. Поскольку \( q_2 \) отрицательный, вектор \( \vec{E_2} \) направлен от точки к \( q_2 \). Так как точка находится между зарядами, оба вектора \( \vec{E_1} \) и \( \vec{E_2} \) направлены в одну сторону (от \( q_1 \) к \( q_2 \)). Поэтому результирующая напряженность \( E \) будет суммой модулей \( E_1 \) и \( E_2 \): \[ E = E_1 + E_2 = 2.25 \cdot 10^4 \text{ В/м} + 1 \cdot 10^4 \text{ В/м} = 3.25 \cdot 10^4 \text{ В/м} \]
3. Рассчитаем потенциал электрического поля \( \varphi \). Потенциал электрического поля, создаваемого точечным зарядом, определяется формулой: \[ \varphi = k \frac{q}{r} \] Потенциал от заряда \( q_1 \) в данной точке: \[ \varphi_1 = k \frac{q_1}{r_1} = 9 \cdot 10^9 \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2 \cdot \frac{4 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}}{0.04 \text{ м}} \] \[ \varphi_1 = 9 \cdot \frac{4}{0.04} = 9 \cdot 100 = 900 \text{ В} \] Потенциал от заряда \( q_2 \) в данной точке: \[ \varphi_2 = k \frac{q_2}{r_2} = 9 \cdot 10^9 \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2 \cdot \frac{-4 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}}{0.06 \text{ м}} \] \[ \varphi_2 = 9 \cdot \frac{-4}{0.06} = 9 \cdot \left( -\frac{400}{6} \right) = 9 \cdot \left( -\frac{200}{3} \right) = -3 \cdot 200 = -600 \text{ В} \] Результирующий потенциал \( \varphi \) в точке равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым зарядом: \[ \varphi = \varphi_1 + \varphi_2 = 900 \text{ В} + (-600 \text{ В}) = 300 \text{ В} \]