Решение Варианта 6: Квадратные Неравенства

Ниже представлено решение заданий Варианта 6. Решения оформлены так, чтобы их было удобно переписать в школьную тетрадь. Вариант 6 Задание 1 \[ x^2 - 6 > 0 \] Разложим на множители: \[ (x - \sqrt{6})(x + \sqrt{6}) > 0 \] Корни: \( x_1 = -\sqrt{6} \), \( x_2 = \sqrt{6} \). Методом интервалов получаем: Ответ: \( x \in (-\infty; -\sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}; +\infty) \) Задание 2 \[ x^2 - 1,69 \le 0 \] \[ (x - 1,3)(x + 1,3) \le 0 \] Корни: \( x_1 = -1,3 \), \( x_2 = 1,3 \). Ветви параболы направлены вверх, выбираем промежуток между корнями. Ответ: \( x \in [-1,3; 1,3] \) Задание 3 \[ x^2 - 8x > 0 \] Вынесем общий множитель: \[ x(x - 8) > 0 \] Корни: \( x_1 = 0 \), \( x_2 = 8 \). Ответ: \( x \in (-\infty; 0) \cup (8; +\infty) \) Задание 4 \[ x^2 - 7x + 12 < 0 \] По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 7 \), \( x_1 \cdot x_2 = 12 \). Корни: \( x_1 = 3 \), \( x_2 = 4 \). Ответ: \( x \in (3; 4) \) Задание 5 \[ -x^2 - 2x + 8 > 0 \] Умножим на -1 (знак неравенства меняется): \[ x^2 + 2x - 8 < 0 \] Корни по теореме Виета: \( x_1 = -4 \), \( x_2 = 2 \). Ответ: \( x \in (-4; 2) \) Задание 6 \[ 3x^2 \ge 75 \] Разделим на 3: \[ x^2 \ge 25 \] \[ x^2 - 25 \ge 0 \] \[ (x - 5)(x + 5) \ge 0 \] Ответ: \( x \in (-\infty; -5] \cup [5; +\infty) \) Задание 7 \[ x^2 + 14x + 49 > 0 \] Свернем по формуле квадрата суммы: \[ (x + 7)^2 > 0 \] Квадрат любого числа всегда неотрицателен. Выражение равно нулю только при \( x = -7 \). Ответ: \( x \in (-\infty; -7) \cup (-7; +\infty) \) Задание 8 \[ 5x^2 - 7x + 2 \le 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = (-7)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 49 - 40 = 9 \] \[ x_1 = \frac{7 - 3}{10} = 0,4; \quad x_2 = \frac{7 + 3}{10} = 1 \] Ответ: \( x \in [0,4; 1] \) Задание 9 \[ -3x^2 + 2x - 5 \le 0 \] Умножим на -1: \[ 3x^2 - 2x + 5 \ge 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 4 - 60 = -56 \] Так как \( D < 0 \) и коэффициент при \( x^2 \) положителен, парабола всегда находится выше оси OX. Ответ: \( x \in (-\infty; +\infty) \) Задание 10 \[ 2x^2 + 3x + 6 \ge 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 9 - 48 = -39 \] Так как \( D < 0 \) и ветви параболы направлены вверх, выражение всегда больше нуля. Ответ: \( x \in (-\infty; +\infty) \)