Решение неравенства (x+8)(x-5)(x+4) <= 0 методом интервалов

Решение неравенств методом интервалов. 1) \( (x + 8)(x - 5)(x + 4) \le 0 \) Найдем корни уравнения \( (x + 8)(x - 5)(x + 4) = 0 \): \[ x_1 = -8, \quad x_2 = 5, \quad x_3 = -4 \] Отметим точки на числовой прямой (точки закрашенные, так как неравенство нестрогое) и определим знаки на интервалах: На интервале \( (5; +\infty) \) выражение положительно. Далее знаки чередуются: — на \( (5; +\infty) \) знак \( + \) — на \( (-4; 5] \) знак \( - \) — на \( [-8; -4] \) знак \( + \) — на \( (-\infty; -8] \) знак \( - \) Нам нужны интервалы, где выражение \( \le 0 \). Ответ: \( x \in (-\infty; -8] \cup [-4; 5] \) 2) \( x(x - 4)(8 - x) > 0 \) Для удобства приведем множитель \( (8 - x) \) к виду \( (x - 8) \), умножив неравенство на \( -1 \) (при этом знак неравенства меняется): \[ x(x - 4)(x - 8) < 0 \] Корни уравнения: \( x_1 = 0, \quad x_2 = 4, \quad x_3 = 8 \). Отметим выколотые точки на прямой и определим знаки: — на \( (8; +\infty) \) знак \( + \) — на \( (4; 8) \) знак \( - \) — на \( (0; 4) \) знак \( + \) — на \( (-\infty; 0) \) знак \( - \) Нам нужны интервалы, где выражение \( < 0 \). Ответ: \( x \in (-\infty; 0) \cup (4; 8) \) 3) \( -4(6 - 5y)(3y - 1) > 0 \) Разделим обе части на \( -4 \), сменив знак неравенства: \[ (6 - 5y)(3y - 1) < 0 \] Вынесем минус из первой скобки, чтобы коэффициент при \( y \) стал положительным, и снова сменим знак: \[ (5y - 6)(3y - 1) > 0 \] Найдем корни: \[ 5y - 6 = 0 \Rightarrow y = 1,2 \] \[ 3y - 1 = 0 \Rightarrow y = \frac{1}{3} \] Отметим точки \( \frac{1}{3} \) и \( 1,2 \) на прямой: — на \( (1,2; +\infty) \) знак \( + \) — на \( (\frac{1}{3}; 1,2) \) знак \( - \) — на \( (-\infty; \frac{1}{3}) \) знак \( + \) Нам нужны интервалы, где выражение \( > 0 \). Ответ: \( y \in (-\infty; \frac{1}{3}) \cup (1,2; +\infty) \)