Задача: Вычислить предел
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{\sin 3x} \]
Решение:
Для вычисления этого предела воспользуемся первым замечательным пределом, который гласит:
\[ \lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{y} = 1 \]
Мы можем преобразовать исходное выражение, чтобы применить этот предел. Для этого умножим и разделим числитель и знаменатель на соответствующие аргументы синусов:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{\sin 3x} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin 5x}{5x} \cdot \frac{5x}{1} \cdot \frac{1}{\frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3x} \right) \]
Перегруппируем члены:
\[ \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin 5x}{5x} \cdot \frac{3x}{\sin 3x} \cdot \frac{5x}{3x} \right) \]
Сократим \(x\) в последней дроби:
\[ \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin 5x}{5x} \cdot \frac{1}{\frac{\sin 3x}{3x}} \cdot \frac{5}{3} \right) \]
Теперь применим свойство предела произведения: предел произведения равен произведению пределов (если они существуют). Также учтем, что если \(x \to 0\), то \(5x \to 0\) и \(3x \to 0\).
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{\sin 3x}{3x}} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{5}{3} \]
Используя первый замечательный предел:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x} = 1 \]
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} = 1 \]
Подставляем эти значения:
\[ 1 \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{5}{3} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{5}{3} = \frac{5}{3} \]
Ответ:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{\sin 3x} = \frac{5}{3} \]