Решение задач 34, 36, 41, 47, 59, 61: Подробное решение с Дано и чертежами

Хорошо, давайте решим эти задачи. Я буду оформлять их так, чтобы было удобно переписать в тетрадь, с "Дано", "Найти", "Решение" и, где это уместно, с описанием чертежа. ---

Задача 34

Дано:

Прямоугольник ABCD. Сторона AD равна 10 см. Расстояние от точки пересечения диагоналей до этой стороны равно 3 см.

Найти:

Площадь прямоугольника.

Решение:

1. Начертим прямоугольник ABCD. Обозначим его вершины A, B, C, D. 2. Проведем диагонали AC и BD. Пусть они пересекаются в точке O. 3. Из точки O опустим перпендикуляр на сторону AD. Пусть это будет отрезок OK. 4. По свойству прямоугольника, точка пересечения диагоналей является серединой каждой диагонали. Также, диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам. 5. Рассмотрим треугольник AOD. Он равнобедренный, так как AO = OD (половины равных диагоналей). 6. Отрезок OK является высотой, проведенной к основанию AD в равнобедренном треугольнике AOD. Следовательно, OK также является медианой. 7. По условию, расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны AD равно 3 см, то есть OK = 3 см. 8. Высота OK в треугольнике AOD является половиной стороны AB (или CD). Это можно увидеть, если провести через точку O прямую, параллельную AB и CD. Эта прямая будет средней линией прямоугольника, и расстояние от нее до AD будет равно OK. 9. Таким образом, сторона AB = 2 * OK = 2 * 3 см = 6 см. 10. Теперь у нас есть две стороны прямоугольника: AD = 10 см и AB = 6 см. 11. Площадь прямоугольника вычисляется по формуле: \(S = a \cdot b\), где \(a\) и \(b\) - длины сторон. 12. \(S_{ABCD} = AD \cdot AB = 10 \text{ см} \cdot 6 \text{ см} = 60 \text{ см}^2\).

Ответ:

Площадь прямоугольника равна 60 см\(^2\). ---

Задача 36

Дано:

Параллелограмм. Стороны параллелограмма равны 6 см и 10 см. Высота, проведенная к меньшей из них, равна 8 см.

Найти:

Высоту, проведенную к другой стороне.

Решение:

1. Начертим параллелограмм ABCD. 2. Пусть стороны параллелограмма будут \(a = 10\) см и \(b = 6\) см. 3. Высота, проведенная к меньшей стороне (6 см), равна \(h_b = 8\) см. 4. Нам нужно найти высоту, проведенную к большей стороне (\(h_a\)). 5. Площадь параллелограмма можно вычислить по формуле: \(S = a \cdot h_a\) или \(S = b \cdot h_b\). 6. Используем известные значения для нахождения площади: \(S = b \cdot h_b = 6 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 48 \text{ см}^2\). 7. Теперь, зная площадь и большую сторону, найдем вторую высоту: \(S = a \cdot h_a\) \(48 \text{ см}^2 = 10 \text{ см} \cdot h_a\) \(h_a = \frac{48 \text{ см}^2}{10 \text{ см}} = 4.8 \text{ см}\).

Ответ:

Высота, проведенная к другой стороне, равна 4.8 см. ---

Задача 41

Дано:

Ромб. Диагонали ромба равны 8 см и 7 см.

Найти:

Площадь ромба.

Решение:

1. Начертим ромб ABCD. 2. Обозначим диагонали ромба как \(d_1\) и \(d_2\). 3. По условию, \(d_1 = 8\) см и \(d_2 = 7\) см. 4. Площадь ромба вычисляется по формуле: \(S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2\). 5. Подставим значения диагоналей в формулу: \(S = \frac{1}{2} \cdot 8 \text{ см} \cdot 7 \text{ см}\) \(S = \frac{1}{2} \cdot 56 \text{ см}^2\) \(S = 28 \text{ см}^2\).

Ответ:

Площадь ромба равна 28 см\(^2\). ---

Задача 47

Дано:

Трапеция. Основания трапеции относятся как 2:3. Высота трапеции равна 6 см. Площадь трапеции равна 60 см\(^2\).

Найти:

Основания трапеции.

Решение:

1. Начертим трапецию ABCD с основаниями AD и BC. 2. Пусть основания трапеции будут \(a\) и \(b\). 3. По условию, отношение оснований \(a:b = 2:3\). Это означает, что \(a = 2x\) и \(b = 3x\) для некоторого коэффициента \(x\). 4. Высота трапеции \(h = 6\) см. 5. Площадь трапеции \(S = 60\) см\(^2\). 6. Формула для площади трапеции: \(S = \frac{a+b}{2} \cdot h\). 7. Подставим известные значения в формулу: \(60 = \frac{2x + 3x}{2} \cdot 6\) \(60 = \frac{5x}{2} \cdot 6\) \(60 = 5x \cdot 3\) \(60 = 15x\) \(x = \frac{60}{15}\) \(x = 4\). 8. Теперь найдем длины оснований: \(a = 2x = 2 \cdot 4 = 8\) см. \(b = 3x = 3 \cdot 4 = 12\) см.

Ответ:

Основания трапеции равны 8 см и 12 см. ---

Задача 59

Дано:

Равнобедренный треугольник. Основание равно 4 см. Высота, проведенная к основанию, равна 2 см.

Найти:

Площадь треугольника.

Решение:

1. Начертим равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC. 2. Пусть основание AC = 4 см. 3. Высота, проведенная к основанию, пусть это будет BH, равна 2 см. 4. Площадь треугольника вычисляется по формуле: \(S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}\). 5. Подставим значения: \(S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH\) \(S = \frac{1}{2} \cdot 4 \text{ см} \cdot 2 \text{ см}\) \(S = \frac{1}{2} \cdot 8 \text{ см}^2\) \(S = 4 \text{ см}^2\).

Ответ:

Площадь треугольника равна 4 см\(^2\). ---

Задача 61

Дано:

Треугольник ABC. Угол A = 90 градусов. Угол B = 30 градусов. Сторона AB = 6 см.

Найти:

Две другие стороны треугольника.

Решение:

1. Начертим прямоугольный треугольник ABC. 2. Угол A = 90 градусов, угол B = 30 градусов. 3. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусов. Значит, угол C = 180 - 90 - 30 = 60 градусов. 4. Сторона AB = 6 см. Это катет, прилежащий к углу B. 5. Найдем сторону AC (катет, противолежащий углу B): Используем тангенс угла B: \(\text{tg}(B) = \frac{AC}{AB}\) \(\text{tg}(30^\circ) = \frac{AC}{6}\) Мы знаем, что \(\text{tg}(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}\) или \(\frac{\sqrt{3}}{3}\). \(\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{AC}{6}\) \(AC = \frac{6\sqrt{3}}{3}\) \(AC = 2\sqrt{3}\) см. 6. Найдем сторону BC (гипотенуза): Используем косинус угла B: \(\text{cos}(B) = \frac{AB}{BC}\) \(\text{cos}(30^\circ) = \frac{6}{BC}\) Мы знаем, что \(\text{cos}(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\). \(\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6}{BC}\) \(BC \cdot \sqrt{3} = 6 \cdot 2\) \(BC \cdot \sqrt{3} = 12\) \(BC = \frac{12}{\sqrt{3}}\) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\): \(BC = \frac{12\sqrt{3}}{3}\) \(BC = 4\sqrt{3}\) см. *Альтернативный способ для BC:* В прямоугольном треугольнике с углом 30 градусов, катет, лежащий против угла 30 градусов, равен половине гипотенузы. То есть, \(AC = \frac{1}{2} BC\). Мы нашли \(AC = 2\sqrt{3}\) см. Значит, \(2\sqrt{3} = \frac{1}{2} BC\) \(BC = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\) см. Этот способ подтверждает наш предыдущий результат.

Ответ:

Две другие стороны треугольника равны \(AC = 2\sqrt{3}\) см и \(BC = 4\sqrt{3}\) см. ---