Контрольная работа №2. Вариант 1. Решение неравенств.

Контрольная работа №2. Вариант 1. Задание 1. Решите неравенство: а) \( 2x^2 - 13x + 6 < 0 \) Решение: Найдем корни квадратного трехчлена \( 2x^2 - 13x + 6 = 0 \). \[ D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 169 - 48 = 121 = 11^2 \] \[ x_1 = \frac{13 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{24}{4} = 6 \] \[ x_2 = \frac{13 - 11}{4} = \frac{2}{4} = 0,5 \] Так как коэффициент при \( x^2 \) положителен (\( 2 > 0 \)), ветви параболы направлены вверх. Неравенство меньше нуля на промежутке между корнями. Ответ: \( x \in (0,5; 6) \) б) \( x^2 > 9 \) \[ x^2 - 9 > 0 \] \[ (x - 3)(x + 3) > 0 \] Корни: \( x = 3 \) и \( x = -3 \). Используя метод интервалов или свойства параболы: Ответ: \( x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty) \) Задание 2. Решите неравенство методом интервалов: а) \( (x + 8)(x - 4)(x - 7) > 0 \) Нули функции: \( x = -8, x = 4, x = 7 \). Расставим знаки на числовой прямой: — на \( (-\infty; -8) \) знак «минус»; — на \( (-8; 4) \) знак «плюс»; — на \( (4; 7) \) знак «минус»; — на \( (7; +\infty) \) знак «плюс». Нам нужны интервалы со знаком «плюс». Ответ: \( x \in (-8; 4) \cup (7; +\infty) \) б) \( (x + 8)(x - 4) > 0 \) Нули: \( x = -8, x = 4 \). Знаки: \( + \) на \( (-\infty; -8) \), \( - \) на \( (-8; 4) \), \( + \) на \( (4; +\infty) \). Ответ: \( x \in (-\infty; -8) \cup (4; +\infty) \) в) \( (x^2 - 2x)(4x + 2) > 0 \) Разложим на множители: \( x(x - 2) \cdot 2(2x + 1) > 0 \). Нули: \( x = 0, x = 2, x = -0,5 \). Расставим знаки: — на \( (-\infty; -0,5) \) знак «минус»; — на \( (-0,5; 0) \) знак «плюс»; — на \( (0; 2) \) знак «минус»; — на \( (2; +\infty) \) знак «плюс». Ответ: \( x \in (-0,5; 0) \cup (2; +\infty) \) Задание 3. Решить неравенство: а) \( x^2 - 15x + 56 < 0 \) Найдем корни \( x^2 - 15x + 56 = 0 \) по теореме Виета: \[ x_1 + x_2 = 15, x_1 \cdot x_2 = 56 \Rightarrow x_1 = 7, x_2 = 8 \] Парабола ветвями вверх, отрицательные значения между корнями. Ответ: \( x \in (7; 8) \) б) \( 3x^2 - 6x + 32 > 0 \) Найдем дискриминант: \[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 32 = 36 - 384 = -348 \] Так как \( D < 0 \) и коэффициент при \( x^2 \) положителен (\( 3 > 0 \)), парабола всегда находится выше оси \( Ox \). Неравенство верно при любом \( x \). Ответ: \( x \in (-\infty; +\infty) \) Задание 4. При каких значениях \( t \) уравнение \( 3x^2 + tx + 3 = 0 \) имеет два корня? Уравнение имеет два корня, если дискриминант больше нуля: \[ D = t^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = t^2 - 36 \] \[ t^2 - 36 > 0 \] \[ (t - 6)(t + 6) > 0 \] Ответ: \( t \in (-\infty; -6) \cup (6; +\infty) \) Задание 5. Найдите все решения, удовлетворяющие системе неравенств: \[ \begin{cases} (x - 3)(x - 1) > 0 \\ x > 2 \end{cases} \] Решим первое неравенство: \( (x - 3)(x - 1) > 0 \). Корни \( 1 \) и \( 3 \). Решение: \( x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty) \). Учитываем второе условие \( x > 2 \). Пересечение промежутков \( (-\infty; 1) \cup (3; +\infty) \) и \( (2; +\infty) \) дает интервал \( (3; +\infty) \). Ответ: \( x \in (3; +\infty) \)