Решение системы уравнений: x - 5y = 2, x^2 - y = 10

Задание 1. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} x - 5y = 2 \\ x^2 - y = 10 \end{cases} \] Решение: Выразим \( x \) из первого уравнения: \( x = 5y + 2 \) Подставим полученное выражение во второе уравнение: \( (5y + 2)^2 - y = 10 \) \( 25y^2 + 20y + 4 - y - 10 = 0 \) \( 25y^2 + 19y - 6 = 0 \) Найдем дискриминант: \( D = 19^2 - 4 \cdot 25 \cdot (-6) = 361 + 600 = 961 = 31^2 \) Находим корни для \( y \): \( y_1 = \frac{-19 + 31}{50} = \frac{12}{50} = 0,24 \) \( y_2 = \frac{-19 - 31}{50} = \frac{-50}{50} = -1 \) Находим соответствующие значения \( x \): \( x_1 = 5 \cdot 0,24 + 2 = 1,2 + 2 = 3,2 \) \( x_2 = 5 \cdot (-1) + 2 = -5 + 2 = -3 \) Ответ: (3,2; 0,24), (-3; -1). Задание 2. Пусть \( a \) и \( b \) — стороны прямоугольника. Составим систему уравнений по условию задачи: \[ \begin{cases} 2(a + b) = 26 \\ a \cdot b = 42 \end{cases} \] Разделим первое уравнение на 2: \( a + b = 13 \Rightarrow b = 13 - a \) Подставим во второе уравнение: \( a(13 - a) = 42 \) \( 13a - a^2 - 42 = 0 \) \( a^2 - 13a + 42 = 0 \) По теореме Виета: \( a_1 = 6, a_2 = 7 \) Если \( a = 6 \), то \( b = 7 \). Если \( a = 7 \), то \( b = 6 \). Ответ: 6 см и 7 см. Задание 3. Чтобы найти точки пересечения, составим систему уравнений: \[ \begin{cases} y = x^2 - 8 \\ x + y = 4 \end{cases} \] Подставим \( y \) из первого уравнения во второе: \( x + (x^2 - 8) = 4 \) \( x^2 + x - 12 = 0 \) По теореме Виета: \( x_1 = -4, x_2 = 3 \) Найдем \( y \): \( y_1 = (-4)^2 - 8 = 16 - 8 = 8 \) \( y_2 = 3^2 - 8 = 9 - 8 = 1 \) Ответ: (-4; 8), (3; 1). Задание 4. Система неравенств: \[ \begin{cases} x^2 + y^2 \le 9 \\ y \le x + 2 \end{cases} \] Описание решения для тетради: 1. Первое неравенство \( x^2 + y^2 \le 9 \) задает круг с центром в начале координат (0;0) и радиусом \( R = 3 \). Граница (окружность) входит в решение. 2. Второе неравенство \( y \le x + 2 \) задает полуплоскость, лежащую ниже прямой \( y = x + 2 \). Сама прямая проходит через точки (0; 2) и (-2; 0). 3. Множеством решений является область пересечения: часть круга, которая находится под прямой \( y = x + 2 \). Задание 5. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{12} \\ 5x - y = 18 \end{cases} \] Решение: Из второго уравнения выразим \( y \): \( y = 5x - 18 \) Подставим в первое уравнение: \( \frac{1}{x} - \frac{1}{5x - 18} = \frac{1}{12} \) Приведем к общему знаменателю: \( \frac{5x - 18 - x}{x(5x - 18)} = \frac{1}{12} \) \( \frac{4x - 18}{5x^2 - 18x} = \frac{1}{12} \) По свойству пропорции: \( 12(4x - 18) = 5x^2 - 18x \) \( 48x - 216 = 5x^2 - 18x \) \( 5x^2 - 66x + 216 = 0 \) \( D = (-66)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 216 = 4356 - 4320 = 36 = 6^2 \) \( x_1 = \frac{66 + 6}{10} = 7,2 \) \( x_2 = \frac{66 - 6}{10} = 6 \) Находим \( y \): \( y_1 = 5 \cdot 7,2 - 18 = 36 - 18 = 18 \) \( y_2 = 5 \cdot 6 - 18 = 30 - 18 = 12 \) Ответ: (7,2; 18), (6; 12).