Задача 1
Нам дан прямоугольный треугольник \(MNP\). Известно, что угол \(N\) равен \(90^\circ\), а угол \(M\) равен \(30^\circ\). Нужно найти угол \(P\).
Решение:
Сумма углов в любом треугольнике равна \(180^\circ\). В прямоугольном треугольнике один угол всегда равен \(90^\circ\).
Запишем формулу для суммы углов:
\[\angle M + \angle N + \angle P = 180^\circ\]Подставим известные значения:
\[30^\circ + 90^\circ + \angle P = 180^\circ\] \[120^\circ + \angle P = 180^\circ\]Чтобы найти угол \(P\), вычтем \(120^\circ\) из \(180^\circ\):
\[\angle P = 180^\circ - 120^\circ\] \[\angle P = 60^\circ\]Ответ: \(\angle P = 60^\circ\)
Задача 2
Нам дан треугольник \(ABC\). На рисунке показано, что стороны \(AB\) и \(AC\) равны (обозначены одинаковыми чёрточками). Это означает, что треугольник \(ABC\) является равнобедренным. Известно, что угол \(B\) равен \(47^\circ\). Нужно найти угол \(A\).
Решение:
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В данном случае основанием является сторона \(BC\), а углы при основании — это \(\angle B\) и \(\angle C\).
Значит, \(\angle C = \angle B = 47^\circ\).
Сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\).
Запишем формулу для суммы углов:
\[\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ\]Подставим известные значения:
\[\angle A + 47^\circ + 47^\circ = 180^\circ\] \[\angle A + 94^\circ = 180^\circ\]Чтобы найти угол \(A\), вычтем \(94^\circ\) из \(180^\circ\):
\[\angle A = 180^\circ - 94^\circ\] \[\angle A = 86^\circ\]Ответ: \(\angle A = 86^\circ\)
Задача 3
Нам дан треугольник \(ABC\). Известно, что угол \(C\) равен \(70^\circ\). Также дан внешний угол при вершине \(A\), который равен \(140^\circ\). Нужно найти угол \(B\).
Решение:
Угол \(EAB\) и угол \(BAC\) являются смежными углами. Сумма смежных углов равна \(180^\circ\).
Запишем формулу для смежных углов:
\[\angle EAB + \angle BAC = 180^\circ\]Подставим известное значение внешнего угла:
\[140^\circ + \angle BAC = 180^\circ\]Чтобы найти угол \(BAC\), вычтем \(140^\circ\) из \(180^\circ\):
\[\angle BAC = 180^\circ - 140^\circ\] \[\angle BAC = 40^\circ\]Теперь у нас есть два угла в треугольнике \(ABC\): \(\angle BAC = 40^\circ\) и \(\angle C = 70^\circ\).
Сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\).
Запишем формулу для суммы углов:
\[\angle BAC + \angle B + \angle C = 180^\circ\]Подставим известные значения:
\[40^\circ + \angle B + 70^\circ = 180^\circ\] \[110^\circ + \angle B = 180^\circ\]Чтобы найти угол \(B\), вычтем \(110^\circ\) из \(180^\circ\):
\[\angle B = 180^\circ - 110^\circ\] \[\angle B = 70^\circ\]Ответ: \(\angle B = 70^\circ\)