Решение задачи 5: Шары в урне

Ниже представлено подробное решение задачи №5 для переписывания в тетрадь. Задача №5 Условие: В урне 5 черных и 3 белых шара. Шары извлекаются без возвращения до появления первого белого шара. Случайная величина \(X\) — число извлеченных черных шаров. Найти ряд распределения и математическое ожидание \(M(X)\). Решение: Случайная величина \(X\) может принимать значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Обозначим события: \(Б\) — вынут белый шар, \(Ч\) — вынут черный шар. Всего шаров в урне: \(5 + 3 = 8\). Найдем вероятности для каждого значения \(X\): 1) \(X = 0\) (первым же вынут белый шар): \[P(X = 0) = \frac{3}{8} = 0,375\] 2) \(X = 1\) (первый черный, второй белый): \[P(X = 1) = \frac{5}{8} \cdot \frac{3}{7} = \frac{15}{56} \approx 0,268\] 3) \(X = 2\) (два черных, затем белый): \[P(X = 2) = \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7} \cdot \frac{3}{6} = \frac{60}{336} = \frac{5}{28} \approx 0,179\] 4) \(X = 3\) (три черных, затем белый): \[P(X = 3) = \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7} \cdot \frac{3}{6} \cdot \frac{3}{5} = \frac{180}{1680} = \frac{3}{28} \approx 0,107\] 5) \(X = 4\) (четыре черных, затем белый): \[P(X = 4) = \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7} \cdot \frac{3}{6} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{360}{6720} = \frac{3}{56} \approx 0,054\] 6) \(X = 5\) (пять черных, затем белый): \[P(X = 5) = \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7} \cdot \frac{3}{6} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3} = \frac{360}{40320} = \frac{1}{112} \approx 0,009\] Проверка: \(\sum P_i = \frac{3}{8} + \frac{15}{56} + \frac{10}{56} + \frac{6}{56} + \frac{3}{56} + \frac{0,5}{56} = 1\) (верно). Ряд распределения в виде таблицы: \(X\): 0; 1; 2; 3; 4; 5 \(P\): 21/56; 15/56; 10/56; 6/56; 3/56; 1/112 (или в десятичных дробях) Вычислим математическое ожидание \(M(X)\): \[M(X) = \sum x_i p_i\] \[M(X) = 0 \cdot \frac{21}{56} + 1 \cdot \frac{15}{56} + 2 \cdot \frac{10}{56} + 3 \cdot \frac{6}{56} + 4 \cdot \frac{3}{56} + 5 \cdot \frac{0,5}{56}\] \[M(X) = \frac{15 + 20 + 18 + 12 + 2,5}{56} = \frac{67,5}{56} = \frac{135}{112} \approx 1,205\] Ответ: \(M(X) = 1,205\).