Задача.
Дано:
Правильный треугольник, в который вписана окружность, а в окружность вписан правильный шестиугольник.
Сторона правильного треугольника \(a_3 = 6\).
Найти:
Сторону правильного шестиугольника \(a_6\);
Периметр правильного шестиугольника \(P_6\);
Площадь правильного треугольника \(S_3\).
Решение:
1. Найдем радиус \(r\) окружности, вписанной в правильный треугольник.
Формула для радиуса вписанной окружности в правильный треугольник:
\[r = \frac{a_3}{2\sqrt{3}}\]Подставим значение \(a_3 = 6\):
\[r = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}\]Итак, радиус вписанной окружности \(r = \sqrt{3}\).
2. Найдем сторону правильного шестиугольника \(a_6\).
В правильный шестиугольник, вписанный в окружность, сторона шестиугольника равна радиусу этой окружности.
Следовательно, \(a_6 = r\).
Так как \(r = \sqrt{3}\), то \(a_6 = \sqrt{3}\).
3. Найдем периметр правильного шестиугольника \(P_6\).
Периметр правильного шестиугольника равен произведению количества сторон на длину одной стороны:
\[P_6 = 6 \cdot a_6\]Подставим значение \(a_6 = \sqrt{3}\):
\[P_6 = 6 \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{3}\]4. Найдем площадь правильного треугольника \(S_3\).
Формула для площади правильного треугольника:
\[S_3 = \frac{a_3^2\sqrt{3}}{4}\]Подставим значение \(a_3 = 6\):
\[S_3 = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}\]Ответ:
Сторона правильного шестиугольника \(a_6 = \sqrt{3}\).
Периметр правильного шестиугольника \(P_6 = 6\sqrt{3}\).
Площадь правильного треугольника \(S_3 = 9\sqrt{3}\).