Задача 3. Радиус вписанной в квадрат окружности равен \(7\sqrt{2}\). Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.
Дано:
- Квадрат.
- Окружность вписана в квадрат.
- Радиус вписанной окружности \(r = 7\sqrt{2}\).
Найти:
- Радиус описанной окружности \(R\).
Решение:
1. Рассмотрим окружность, вписанную в квадрат.
Если окружность вписана в квадрат, то её диаметр равен стороне квадрата. Обозначим сторону квадрата за \(a\).
Диаметр вписанной окружности равен \(2r\).
Значит, сторона квадрата \(a = 2r\).
Подставим известное значение \(r\):
\[a = 2 \cdot 7\sqrt{2} = 14\sqrt{2}\]Итак, сторона квадрата равна \(14\sqrt{2}\).
2. Рассмотрим окружность, описанную около этого квадрата.
Если окружность описана около квадрата, то её диаметр равен диагонали квадрата. Обозначим диагональ квадрата за \(d\).
Диаметр описанной окружности равен \(2R\).
Значит, диагональ квадрата \(d = 2R\).
3. Найдем диагональ квадрата.
Для квадрата со стороной \(a\) диагональ \(d\) можно найти по теореме Пифагора:
\[d^2 = a^2 + a^2\] \[d^2 = 2a^2\] \[d = \sqrt{2a^2}\] \[d = a\sqrt{2}\]Подставим значение стороны квадрата \(a = 14\sqrt{2}\):
\[d = (14\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}\] \[d = 14 \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2})\] \[d = 14 \cdot 2\] \[d = 28\]Итак, диагональ квадрата равна \(28\).
4. Найдем радиус описанной окружности.
Мы знаем, что \(d = 2R\).
Значит, \(2R = 28\).
Разделим обе части на 2:
\[R = \frac{28}{2}\] \[R = 14\]Радиус описанной окружности равен \(14\).
Ответ: Радиус окружности, описанной около этого квадрата, равен \(14\).