Решение задачи: теплоход и течение реки

Задача в) Условие: Программа экскурсии предусматривает двухчасовую прогулку на теплоходе. За это время теплоход проходит 21 км против течения реки и 8 км по течению. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость теплохода составляет 15 км/ч. Решение: Пусть \(x\) км/ч — скорость течения реки. Тогда скорость теплохода по течению равна \((15 + x)\) км/ч, а скорость против течения равна \((15 - x)\) км/ч. Время, затраченное на путь по течению: \[t_1 = \frac{8}{15 + x}\] Время, затраченное на путь против течения: \[t_2 = \frac{21}{15 - x}\] По условию задачи общее время прогулки составляет 2 часа. Составим уравнение: \[\frac{8}{15 + x} + \frac{21}{15 - x} = 2\] Приведем дроби к общему знаменателю \((15 + x)(15 - x)\): \[\frac{8(15 - x) + 21(15 + x)}{(15 + x)(15 - x)} = 2\] \[\frac{120 - 8x + 315 + 21x}{225 - x^2} = 2\] \[\frac{435 + 13x}{225 - x^2} = 2\] Перемножим крест-накрест: \[435 + 13x = 2(225 - x^2)\] \[435 + 13x = 450 - 2x^2\] \[2x^2 + 13x + 435 - 450 = 0\] \[2x^2 + 13x - 15 = 0\] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 169 + 120 = 289\] \[\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17\] Находим корни уравнения: \[x_1 = \frac{-13 + 17}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1\] \[x_2 = \frac{-13 - 17}{4} = \frac{-30}{4} = -7,5\] Так как скорость течения не может быть отрицательной, нам подходит только корень \(x = 1\). Ответ: скорость течения реки составляет 1 км/ч.