Решение системы уравнений: x² - xy + y² = 19, 3x² - 4xy + 3y² = 42

Решение системы уравнений: \[ \begin{cases} x^2 - xy + y^2 = 19 \\ 3x^2 - 4xy + 3y^2 = 42 \end{cases} \] Заметим, что левые части уравнений содержат однородные выражения второй степени. Применим метод сложения (исключения свободных членов). Умножим первое уравнение на \(-3\) и сложим со вторым: \[ \begin{cases} -3x^2 + 3xy - 3y^2 = -57 \\ 3x^2 - 4xy + 3y^2 = 42 \end{cases} \] Складываем уравнения: \[ (-3x^2 + 3x^2) + (3xy - 4xy) + (-3y^2 + 3y^2) = -57 + 42 \] \[ -xy = -15 \] \[ xy = 15 \] Теперь выразим \( y \) через \( x \): \[ y = \frac{15}{x} \] Подставим полученное выражение в первое уравнение системы: \[ x^2 - x \cdot \frac{15}{x} + \left(\frac{15}{x}\right)^2 = 19 \] \[ x^2 - 15 + \frac{225}{x^2} = 19 \] \[ x^2 + \frac{225}{x^2} - 34 = 0 \] Умножим всё уравнение на \( x^2 \) (при условии \( x \neq 0 \)): \[ x^4 - 34x^2 + 225 = 0 \] Это биквадратное уравнение. Пусть \( t = x^2 \), где \( t \ge 0 \): \[ t^2 - 34t + 225 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = (-34)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 225 = 1156 - 900 = 256 = 16^2 \] Корни для \( t \): \[ t_1 = \frac{34 + 16}{2} = \frac{50}{2} = 25 \] \[ t_2 = \frac{34 - 16}{2} = \frac{18}{2} = 9 \] Вернемся к переменной \( x \): 1) Если \( x^2 = 25 \), то \( x_1 = 5 \) или \( x_2 = -5 \). 2) Если \( x^2 = 9 \), то \( x_3 = 3 \) или \( x_4 = -3 \). Найдем соответствующие значения \( y \), используя \( y = \frac{15}{x} \): 1) При \( x_1 = 5 \), \( y_1 = \frac{15}{5} = 3 \). 2) При \( x_2 = -5 \), \( y_2 = \frac{15}{-5} = -3 \). 3) При \( x_3 = 3 \), \( y_3 = \frac{15}{3} = 5 \). 4) При \( x_4 = -3 \), \( y_4 = \frac{15}{-3} = -5 \). Ответ: \( (5; 3), (-5; -3), (3; 5), (-3; -5) \).