Решение заданий №203-206 из учебника

Ниже представлено решение заданий № 203–206 из учебника, оформленное для записи в тетрадь. № 203. Найдите значение выражения: \[ (10^8)^2 \cdot 100^{-6} \] Решение: Воспользуемся свойствами степеней \( (a^n)^m = a^{n \cdot m} \) и представим число 100 как \( 10^2 \). \[ (10^8)^2 \cdot (10^2)^{-6} = 10^{16} \cdot 10^{-12} \] При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются: \[ 10^{16 + (-12)} = 10^4 = 10000 \] Ответ: 10000. № 204. Найдите значение выражения: \[ (10^{-10} \cdot 100^6)^{-1} \] Решение: Сначала преобразуем выражение внутри скобок, представив \( 100 = 10^2 \): \[ (10^{-10} \cdot (10^2)^6)^{-1} = (10^{-10} \cdot 10^{12})^{-1} \] \[ (10^{-10 + 12})^{-1} = (10^2)^{-1} \] При возведении степени в степень показатели перемножаются: \[ 10^{2 \cdot (-1)} = 10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0,01 \] Ответ: 0,01. № 205. Найдите значение выражения: \[ \frac{6^{-4}}{2^{-6} \cdot 3^{-4}} \] Решение: Представим \( 6^{-4} \) как \( (2 \cdot 3)^{-4} = 2^{-4} \cdot 3^{-4} \): \[ \frac{2^{-4} \cdot 3^{-4}}{2^{-6} \cdot 3^{-4}} \] Сократим дробь на \( 3^{-4} \): \[ \frac{2^{-4}}{2^{-6}} \] При делении степеней показатели вычитаются: \[ 2^{-4 - (-6)} = 2^{-4 + 6} = 2^2 = 4 \] Ответ: 4. № 206. Найдите значение выражения: \[ \frac{3^{-2} \cdot 5^{-3}}{15^{-3}} \] Решение: Представим знаменатель \( 15^{-3} \) как \( (3 \cdot 5)^{-3} = 3^{-3} \cdot 5^{-3} \): \[ \frac{3^{-2} \cdot 5^{-3}}{3^{-3} \cdot 5^{-3}} \] Сократим дробь на \( 5^{-3} \): \[ \frac{3^{-2}}{3^{-3}} \] Вычтем показатели степеней: \[ 3^{-2 - (-3)} = 3^{-2 + 3} = 3^1 = 3 \] Ответ: 3.