Пример 1
Даны два выражения, которые нужно упростить:
1) \( \frac{4}{a} + \frac{7}{b} \)
2) \( \frac{4}{12xy} - \frac{11}{18xy} \)
Решение первого выражения:
Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель для \(a\) и \(b\) будет \(ab\).
Для первой дроби \( \frac{4}{a} \), чтобы получить знаменатель \(ab\), нужно умножить числитель и знаменатель на \(b\):
\( \frac{4 \cdot b}{a \cdot b} = \frac{4b}{ab} \)
Для второй дроби \( \frac{7}{b} \), чтобы получить знаменатель \(ab\), нужно умножить числитель и знаменатель на \(a\):
\( \frac{7 \cdot a}{b \cdot a} = \frac{7a}{ab} \)
Теперь складываем дроби с одинаковыми знаменателями:
\( \frac{4b}{ab} + \frac{7a}{ab} = \frac{4b + 7a}{ab} \)
Ответ: \( \frac{4b + 7a}{ab} \)
Решение второго выражения:
Чтобы вычесть дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Знаменатели у нас \(12xy\) и \(18xy\).
Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 12 и 18.
Разложим числа на простые множители:
\(12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3\)
\(18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^2\)
НОК(12, 18) = \(2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36\).
Значит, общий знаменатель будет \(36xy\).
Для первой дроби \( \frac{4}{12xy} \), чтобы получить знаменатель \(36xy\), нужно умножить числитель и знаменатель на \(36xy / 12xy = 3\):
\( \frac{4 \cdot 3}{12xy \cdot 3} = \frac{12}{36xy} \)
Для второй дроби \( \frac{11}{18xy} \), чтобы получить знаменатель \(36xy\), нужно умножить числитель и знаменатель на \(36xy / 18xy = 2\):
\( \frac{11 \cdot 2}{18xy \cdot 2} = \frac{22}{36xy} \)
Теперь вычитаем дроби с одинаковыми знаменателями:
\( \frac{12}{36xy} - \frac{22}{36xy} = \frac{12 - 22}{36xy} = \frac{-10}{36xy} \)
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:
\( \frac{-10 \div 2}{36xy \div 2} = \frac{-5}{18xy} \)
Ответ: \( -\frac{5}{18xy} \)
Пример 3
Упростите выражение:
\( \frac{3c^2 - 2c + 4}{bc^2} - \frac{2c - 9}{bc} \)
Решение:
Чтобы вычесть дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Знаменатели у нас \(bc^2\) и \(bc\).
Общий знаменатель для \(bc^2\) и \(bc\) будет \(bc^2\).
Первая дробь уже имеет знаменатель \(bc^2\), поэтому ее оставляем без изменений:
\( \frac{3c^2 - 2c + 4}{bc^2} \)
Для второй дроби \( \frac{2c - 9}{bc} \), чтобы получить знаменатель \(bc^2\), нужно умножить числитель и знаменатель на \(c\):
\( \frac{(2c - 9) \cdot c}{bc \cdot c} = \frac{2c^2 - 9c}{bc^2} \)
Теперь вычитаем дроби с одинаковыми знаменателями. Важно помнить, что знак минус перед второй дробью относится ко всему числителю второй дроби:
\( \frac{3c^2 - 2c + 4}{bc^2} - \frac{2c^2 - 9c}{bc^2} = \frac{(3c^2 - 2c + 4) - (2c^2 - 9c)}{bc^2} \)
Раскрываем скобки в числителе, меняя знаки у членов второй скобки:
\( \frac{3c^2 - 2c + 4 - 2c^2 + 9c}{bc^2} \)
Приводим подобные члены в числителе:
\( (3c^2 - 2c^2) + (-2c + 9c) + 4 = c^2 + 7c + 4 \)
Таким образом, упрощенное выражение будет:
\( \frac{c^2 + 7c + 4}{bc^2} \)
Ответ: \( \frac{c^2 + 7c + 4}{bc^2} \)
Пример 4
Упростите выражение:
1) \( \frac{x - 3}{3x + 6} - \frac{x - 6}{x + 2} \)
2) \( \frac{3x}{4x - 4} + \frac{5x}{7 - 7x} \)
Решение первого выражения:
Сначала разложим знаменатели на множители, чтобы найти общий знаменатель.
Первый знаменатель: \(3x + 6 = 3(x + 2)\)
Второй знаменатель: \(x + 2\)
Общий знаменатель для \(3(x + 2)\) и \(x + 2\) будет \(3(x + 2)\).
Первая дробь уже имеет знаменатель \(3(x + 2)\), поэтому ее оставляем без изменений:
\( \frac{x - 3}{3(x + 2)} \)
Для второй дроби \( \frac{x - 6}{x + 2} \), чтобы получить знаменатель \(3(x + 2)\), нужно умножить числитель и знаменатель на \(3\):
\( \frac{(x - 6) \cdot 3}{(x + 2) \cdot 3} = \frac{3(x - 6)}{3(x + 2)} = \frac{3x - 18}{3(x + 2)} \)
Теперь вычитаем дроби с одинаковыми знаменателями:
\( \frac{x - 3}{3(x + 2)} - \frac{3x - 18}{3(x + 2)} = \frac{(x - 3) - (3x - 18)}{3(x + 2)} \)
Раскрываем скобки в числителе, меняя знаки у членов второй скобки:
\( \frac{x - 3 - 3x + 18}{3(x + 2)} \)
Приводим подобные члены в числителе:
\( (x - 3x) + (-3 + 18) = -2x + 15 \)
Таким образом, упрощенное выражение будет:
\( \frac{-2x + 15}{3(x + 2)} \)
Ответ: \( \frac{15 - 2x}{3(x + 2)} \)
Решение второго выражения:
Сначала разложим знаменатели на множители, чтобы найти общий знаменатель.
Первый знаменатель: \(4x - 4 = 4(x - 1)\)
Второй знаменатель: \(7 - 7x = 7(1 - x)\). Заметим, что \(1 - x = -(x - 1)\). Поэтому \(7 - 7x = -7(x - 1)\).
Перепишем выражение с учетом этого:
\( \frac{3x}{4(x - 1)} + \frac{5x}{-7(x - 1)} \)
Знак минус из знаменателя второй дроби можно вынести перед дробью:
\( \frac{3x}{4(x - 1)} - \frac{5x}{7(x - 1)} \)
Теперь найдем общий знаменатель для \(4(x - 1)\) и \(7(x - 1)\). НОК(4, 7) = 28. Значит, общий знаменатель будет \(28(x - 1)\).
Для первой дроби \( \frac{3x}{4(x - 1)} \), чтобы получить знаменатель \(28(x - 1)\), нужно умножить числитель и знаменатель на \(7\):
\( \frac{3x \cdot 7}{4(x - 1) \cdot 7} = \frac{21x}{28(x - 1)} \)
Для второй дроби \( \frac{5x}{7(x - 1)} \), чтобы получить знаменатель \(28(x - 1)\), нужно умножить числитель и знаменатель на \(4\):
\( \frac{5x \cdot 4}{7(x - 1) \cdot 4} = \frac{20x}{28(x - 1)} \)
Теперь вычитаем дроби с одинаковыми знаменателями:
\( \frac{21x}{28(x - 1)} - \frac{20x}{28(x - 1)} = \frac{21x - 20x}{28(x - 1)} \)
Приводим подобные члены в числителе:
\( 21x - 20x = x \)
Таким образом, упрощенное выражение будет:
\( \frac{x}{28(x - 1)} \)
Ответ: \( \frac{x}{28(x - 1)} \)