Решение примеров по алгебре: упрощение выражений с дробями

Хорошо, давайте решим эти примеры по порядку. Первый столбец, первая часть: 1. \[ \left( \frac{a}{b^2} - \frac{1}{a} \right) : \left( \frac{1}{b} + \frac{1}{a} \right) \] Сначала упростим выражения в скобках: \[ \frac{a}{b^2} - \frac{1}{a} = \frac{a \cdot a - 1 \cdot b^2}{b^2 \cdot a} = \frac{a^2 - b^2}{ab^2} \] \[ \frac{1}{b} + \frac{1}{a} = \frac{1 \cdot a + 1 \cdot b}{ab} = \frac{a+b}{ab} \] Теперь выполним деление: \[ \frac{a^2 - b^2}{ab^2} : \frac{a+b}{ab} = \frac{(a-b)(a+b)}{ab^2} \cdot \frac{ab}{a+b} \] Сократим \(ab\) и \(a+b\): \[ \frac{(a-b)}{b} \] Ответ: \( \frac{a-b}{b} \) 2. \[ \left( \frac{x+1}{x-2} + 1 \right) : \left( \frac{1+x}{3x-1} \right) \] Упростим выражение в первой скобке: \[ \frac{x+1}{x-2} + 1 = \frac{x+1}{x-2} + \frac{x-2}{x-2} = \frac{x+1+x-2}{x-2} = \frac{2x-1}{x-2} \] Теперь выполним деление: \[ \frac{2x-1}{x-2} : \frac{1+x}{3x-1} = \frac{2x-1}{x-2} \cdot \frac{3x-1}{1+x} \] Ответ: \( \frac{(2x-1)(3x-1)}{(x-2)(1+x)} \) 3. \[ \left( \frac{3m}{m^2} - \frac{3m}{m^2} \right) : \left( \frac{m^2}{9} + \frac{m}{3} \right) \] Выражение в первой скобке равно нулю: \[ \frac{3m}{m^2} - \frac{3m}{m^2} = 0 \] Значит, всё выражение равно нулю (при условии, что делитель не равен нулю). Ответ: \( 0 \) 4. \[ \left( \frac{2c-d}{2c} - \frac{3d}{4c} \right) : \left( \frac{4c^2-2cd}{3d} \right) \] Упростим выражение в первой скобке, приведя к общему знаменателю \(4c\): \[ \frac{2(2c-d)}{4c} - \frac{3d}{4c} = \frac{4c-2d-3d}{4c} = \frac{4c-5d}{4c} \] Теперь выполним деление: \[ \frac{4c-5d}{4c} : \frac{4c^2-2cd}{3d} = \frac{4c-5d}{4c} \cdot \frac{3d}{4c^2-2cd} \] Вынесем \(2c\) из знаменателя второй дроби: \[ \frac{4c-5d}{4c} \cdot \frac{3d}{2c(2c-d)} = \frac{3d(4c-5d)}{8c^2(2c-d)} \] Ответ: \( \frac{3d(4c-5d)}{8c^2(2c-d)} \) 5. \[ \left( \frac{3k+1}{3k-1} - \frac{3k-1}{3k+1} \right) : \left( \frac{6k}{15k-5} \right) \] Упростим выражение в первой скобке, приведя к общему знаменателю \((3k-1)(3k+1)\): \[ \frac{(3k+1)^2 - (3k-1)^2}{(3k-1)(3k+1)} = \frac{(9k^2+6k+1) - (9k^2-6k+1)}{9k^2-1} \] \[ = \frac{9k^2+6k+1-9k^2+6k-1}{9k^2-1} = \frac{12k}{9k^2-1} \] Упростим делитель: \[ \frac{6k}{15k-5} = \frac{6k}{5(3k-1)} \] Теперь выполним деление: \[ \frac{12k}{9k^2-1} : \frac{6k}{5(3k-1)} = \frac{12k}{(3k-1)(3k+1)} \cdot \frac{5(3k-1)}{6k} \] Сократим \(12k\) и \(6k\), а также \(3k-1\): \[ \frac{2 \cdot 5}{3k+1} = \frac{10}{3k+1} \] Ответ: \( \frac{10}{3k+1} \) Второй столбец, первая часть: 1. \[ \left( \frac{y}{x^2} - \frac{2}{y} \right) : \left( \frac{2}{x} + \frac{1}{y} \right) \] Упростим выражения в скобках: \[ \frac{y}{x^2} - \frac{2}{y} = \frac{y^2 - 2x^2}{x^2y} \] \[ \frac{2}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2y+x}{xy} \] Теперь выполним деление: \[ \frac{y^2 - 2x^2}{x^2y} : \frac{2y+x}{xy} = \frac{y^2 - 2x^2}{x^2y} \cdot \frac{xy}{2y+x} \] Сократим \(xy\): \[ \frac{y^2 - 2x^2}{x(2y+x)} \] Ответ: \( \frac{y^2 - 2x^2}{x(2y+x)} \) 2. \[ \left( \frac{2b}{3-b} - b \right) : \left( \frac{b+3}{b-3} \right) \] Упростим выражение в первой скобке: \[ \frac{2b}{3-b} - b = \frac{2b}{3-b} - \frac{b(3-b)}{3-b} = \frac{2b - (3b-b^2)}{3-b} = \frac{2b-3b+b^2}{3-b} = \frac{b^2-b}{3-b} \] Заметим, что \(3-b = -(b-3)\). Теперь выполним деление: \[ \frac{b^2-b}{3-b} : \frac{b+3}{b-3} = \frac{b(b-1)}{-(b-3)} \cdot \frac{b-3}{b+3} \] Сократим \(b-3\): \[ \frac{b(b-1)}{-(b+3)} = -\frac{b(b-1)}{b+3} \] Ответ: \( -\frac{b(b-1)}{b+3} \) 3. \[ \left( \frac{pq+q^2}{5} : \frac{q}{5p} \right) + \left( \frac{p+q}{q} \right) \] Сначала выполним деление в первой скобке: \[ \frac{pq+q^2}{5} : \frac{q}{5p} = \frac{q(p+q)}{5} \cdot \frac{5p}{q} \] Сократим \(5\) и \(q\): \[ p(p+q) \] Теперь прибавим второе выражение: \[ p(p+q) + \frac{p+q}{q} = (p+q) \left( p + \frac{1}{q} \right) \] \[ = (p+q) \left( \frac{pq+1}{q} \right) = \frac{(p+q)(pq+1)}{q} \] Ответ: \( \frac{(p+q)(pq+1)}{q} \) 4. \[ \left( \frac{6b}{a^2} \right) : \left( \frac{a^2-3ab}{6b} \right) \] Выполним деление: \[ \frac{6b}{a^2} \cdot \frac{6b}{a^2-3ab} = \frac{36b^2}{a^2(a^2-3ab)} \] Вынесем \(a\) из знаменателя: \[ \frac{36b^2}{a^2 \cdot a(a-3b)} = \frac{36b^2}{a^3(a-3b)} \] Ответ: \( \frac{36b^2}{a^3(a-3b)} \) 5. \[ \left( \frac{x+4}{x^2+16} - \frac{x-4}{x^2+16} \right) \] Выражения уже имеют общий знаменатель: \[ \frac{(x+4)-(x-4)}{x^2+16} = \frac{x+4-x+4}{x^2+16} = \frac{8}{x^2+16} \] Ответ: \( \frac{8}{x^2+16} \) Первый столбец, вторая часть: 1. \[ \left( \frac{2m}{n^2} - \frac{1}{2m} \right) : \left( \frac{1}{n} + \frac{1}{2m} \right) \] Упростим выражения в скобках: \[ \frac{2m}{n^2} - \frac{1}{2m} = \frac{2m \cdot 2m - 1 \cdot n^2}{2mn^2} = \frac{4m^2-n^2}{2mn^2} \] \[ \frac{1}{n} + \frac{1}{2m} = \frac{2m+n}{2mn} \] Теперь выполним деление: \[ \frac{4m^2-n^2}{2mn^2} : \frac{2m+n}{2mn} = \frac{(2m-n)(2m+n)}{2mn^2} \cdot \frac{2mn}{2m+n} \] Сократим \(2mn\) и \(2m+n\): \[ \frac{2m-n}{n} \] Ответ: \( \frac{2m-n}{n} \) 2. \[ \left( \frac{5y}{1-4y^2} \right) : \left( 1 - \frac{1}{1-2y} \right) \] Упростим выражение во второй скобке: \[ 1 - \frac{1}{1-2y} = \frac{1-2y}{1-2y} - \frac{1}{1-2y} = \frac{1-2y-1}{1-2y} = \frac{-2y}{1-2y} \] Теперь выполним деление. Заметим, что \(1-4y^2 = (1-2y)(1+2y)\): \[ \frac{5y}{(1-2y)(1+2y)} : \frac{-2y}{1-2y} = \frac{5y}{(1-2y)(1+2y)} \cdot \frac{1-2y}{-2y} \] Сократим \(y\) и \(1-2y\): \[ \frac{5}{-2(1+2y)} = -\frac{5}{2(1+2y)} \] Ответ: \( -\frac{5}{2(1+2y)} \) 3. \[ \left( \frac{2a}{p} + \frac{4a^2}{p^2} \right) : \left( \frac{p^2}{4a} + \frac{p}{2a} \right) \] Упростим выражения в скобках: \[ \frac{2a}{p} + \frac{4a^2}{p^2} = \frac{2ap+4a^2}{p^2} = \frac{2a(p+2a)}{p^2} \] \[ \frac{p^2}{4a} + \frac{p}{2a} = \frac{p^2+2p}{4a} = \frac{p(p+2)}{4a} \] Теперь выполним деление: \[ \frac{2a(p+2a)}{p^2} : \frac{p(p+2)}{4a} = \frac{2a(p+2a)}{p^2} \cdot \frac{4a}{p(p+2)} \] \[ = \frac{8a^2(p+2a)}{p^3(p+2)} \] Ответ: \( \frac{8a^2(p+2a)}{p^3(p+2)} \) 4. \[ \left( \frac{x-4}{x-5} \right) : \left( x + \frac{x}{4-x} \right) \] Упростим выражение во второй скобке: \[ x + \frac{x}{4-x} = \frac{x(4-x)}{4-x} + \frac{x}{4-x} = \frac{4x-x^2+x}{4-x} = \frac{5x-x^2}{4-x} = \frac{x(5-x)}{4-x} \] Теперь выполним деление: \[ \frac{x-4}{x-5} : \frac{x(5-x)}{4-x} = \frac{x-4}{x-5} \cdot \frac{4-x}{x(5-x)} \] Заметим, что \(x-4 = -(4-x)\) и \(x-5 = -(5-x)\): \[ \frac{-(4-x)}{-(5-x)} \cdot \frac{4-x}{x(5-x)} = \frac{4-x}{5-x} \cdot \frac{4-x}{x(5-x)} = \frac{(4-x)^2}{x(5-x)^2} \] Ответ: \( \frac{(4-x)^2}{x(5-x)^2} \) 5. \[ \left( \frac{4n+3}{4n-3} - \frac{4n-3}{4n+3} \right) : \left( \frac{8n}{20n-15} \right) \] Упростим выражение в первой скобке, приведя к общему знаменателю \((4n-3)(4n+3)\): \[ \frac{(4n+3)^2 - (4n-3)^2}{(4n-3)(4n+3)} = \frac{(16n^2+24n+9) - (16n^2-24n+9)}{16n^2-9} \] \[ = \frac{16n^2+24n+9-16n^2+24n-9}{16n^2-9} = \frac{48n}{16n^2-9} \] Упростим делитель: \[ \frac{8n}{20n-15} = \frac{8n}{5(4n-3)} \] Теперь выполним деление: \[ \frac{48n}{16n^2-9} : \frac{8n}{5(4n-3)} = \frac{48n}{(4n-3)(4n+3)} \cdot \frac{5(4n-3)}{8n} \] Сократим \(48n\) и \(8n\), а также \(4n-3\): \[ \frac{6 \cdot 5}{4n+3} = \frac{30}{4n+3} \] Ответ: \( \frac{30}{4n+3} \) Второй столбец, вторая часть: 1. \[ \left( \frac{3x}{2y} - \frac{2}{3x} \right) : \left( \frac{2}{y} + \frac{3}{2x} \right) \] Упростим выражения в скобках: \[ \frac{3x}{2y} - \frac{2}{3x} = \frac{3x \cdot 3x - 2