Решение задачи: Сокращение дробей

Вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь. 1) Сократите дробь а) \[ \frac{7a}{a^2+5a} \] Решение: Вынесем общий множитель \(a\) из знаменателя: \[ a^2+5a = a(a+5) \] Тогда дробь примет вид: \[ \frac{7a}{a(a+5)} \] Сократим на \(a\) (при условии, что \(a \neq 0\)): \[ \frac{7}{a+5} \] Ответ: \( \frac{7}{a+5} \) б) \[ \frac{7x+7y}{x^2-y^2} \] Решение: Вынесем общий множитель \(7\) из числителя: \[ 7x+7y = 7(x+y) \] Разложим знаменатель по формуле разности квадратов \(a^2-b^2 = (a-b)(a+b)\): \[ x^2-y^2 = (x-y)(x+y) \] Тогда дробь примет вид: \[ \frac{7(x+y)}{(x-y)(x+y)} \] Сократим на \(x+y\) (при условии, что \(x+y \neq 0\), то есть \(x \neq -y\)): \[ \frac{7}{x-y} \] Ответ: \( \frac{7}{x-y} \) 2) Выполните действия а) \[ \frac{3x-1}{x^2} + \frac{x-9}{3x} \] Решение: Найдем общий знаменатель. Общий знаменатель для \(x^2\) и \(3x\) будет \(3x^2\). Домножим первую дробь на \(3\), а вторую на \(x\): \[ \frac{(3x-1) \cdot 3}{x^2 \cdot 3} + \frac{(x-9) \cdot x}{3x \cdot x} \] \[ \frac{9x-3}{3x^2} + \frac{x^2-9x}{3x^2} \] Теперь сложим числители: \[ \frac{9x-3+x^2-9x}{3x^2} \] Приведем подобные слагаемые в числителе: \[ \frac{x^2-3}{3x^2} \] Ответ: \( \frac{x^2-3}{3x^2} \) б) \[ \frac{4a^2-1}{a^2-9} : \frac{6a+3}{a+3} \] Решение: Деление дробей заменяется умножением на обратную дробь: \[ \frac{4a^2-1}{a^2-9} \cdot \frac{a+3}{6a+3} \] Разложим числители и знаменатели на множители: Числитель первой дроби: \(4a^2-1 = (2a)^2-1^2 = (2a-1)(2a+1)\) (разность квадратов). Знаменатель первой дроби: \(a^2-9 = a^2-3^2 = (a-3)(a+3)\) (разность квадратов). Знаменатель второй дроби: \(6a+3 = 3(2a+1)\) (вынесение общего множителя). Подставим разложенные множители в выражение: \[ \frac{(2a-1)(2a+1)}{(a-3)(a+3)} \cdot \frac{a+3}{3(2a+1)} \] Сократим общие множители \(a+3\) и \(2a+1\): \[ \frac{2a-1}{a-3} \cdot \frac{1}{3} \] \[ \frac{2a-1}{3(a-3)} \] Ответ: \( \frac{2a-1}{3(a-3)} \) в) \[ \frac{4-3b}{b^2-2b} + \frac{3}{b-2} \] Решение: Разложим знаменатель первой дроби на множители: \[ b^2-2b = b(b-2) \] Тогда выражение примет вид: \[ \frac{4-3b}{b(b-2)} + \frac{3}{b-2} \] Общий знаменатель будет \(b(b-2)\). Домножим вторую дробь на \(b\): \[ \frac{4-3b}{b(b-2)} + \frac{3 \cdot b}{(b-2) \cdot b} \] \[ \frac{4-3b}{b(b-2)} + \frac{3b}{b(b-2)} \] Сложим числители: \[ \frac{4-3b+3b}{b(b-2)} \] Приведем подобные слагаемые в числителе: \[ \frac{4}{b(b-2)} \] Ответ: \( \frac{4}{b(b-2)} \) г) \[ \left( \frac{3}{25-a^2} + \frac{1}{a^2-10a+25} \right) : \frac{(5-a)^2}{2} + \frac{3a}{a+5} \] Решение: Сначала упростим выражение в скобках. Разложим знаменатели на множители: \[ 25-a^2 = 5^2-a^2 = (5-a)(5+a) \] \[ a^2-10a+25 = (a-5)^2 \] Заметим, что \((a-5)^2 = (-(5-a))^2 = (5-a)^2\). Тогда выражение в скобках: \[ \frac{3}{(5-a)(5+a)} + \frac{1}{(5-a)^2} \] Общий знаменатель для этих дробей будет \((5-a)^2(5+a)\). Домножим первую дробь на \((5-a)\), а вторую на \((5+a)\): \[ \frac{3(5-a)}{(5-a)^2(5+a)} + \frac{1(5+a)}{(5-a)^2(5+a)} \] \[ \frac{15-3a+5+a}{(5-a)^2(5+a)} \] \[ \frac{20-2a}{(5-a)^2(5+a)} \] Вынесем \(2\) из числителя: \[ \frac{2(10-a)}{(5-a)^2(5+a)} \] Теперь выполним деление на \( \frac{(5-a)^2}{2} \). Деление заменяем умножением на обратную дробь: \[ \frac{2(10-a)}{(5-a)^2(5+a)} \cdot \frac{2}{(5-a)^2} \] \[ \frac{4(10-a)}{(5-a)^4(5+a)} \] Это промежуточный результат. Теперь прибавим \( \frac{3a}{a+5} \). Заметим, что \(a+5 = 5+a\). \[ \frac{4(10-a)}{(5-a)^4(5+a)} + \frac{3a}{5+a} \] Общий знаменатель будет \((5-a)^4(5+a)\). Домножим вторую дробь на \((5-a)^4\): \[ \frac{4(10-a)}{(5-a)^4(5+a)} + \frac{3a(5-a)^4}{(5-a)^4(5+a)} \] \[ \frac{4(10-a) + 3a(5-a)^4}{(5-a)^4(5+a)} \] Это выражение выглядит довольно громоздко. Возможно, в условии задачи есть опечатка или я неверно интерпретировал часть выражения. Давайте перепроверим. Перепроверим часть с делением. \[ \left( \frac{3}{(5-a)(5+a)} + \frac{1}{(5-a)^2} \right) : \frac{(5-a)^2}{2} \] \[ = \frac{3(5-a) + (5+a)}{(5-a)^2(5+a)} : \frac{(5-a)^2}{2} \] \[ = \frac{15-3a+5+a}{(5-a)^2(5+a)} : \frac{(5-a)^2}{2} \] \[ = \frac{20-2a}{(5-a)^2(5+a)} : \frac{(5-a)^2}{2} \] \[ = \frac{2(10-a)}{(5-a)^2(5+a)} \cdot \frac{2}{(5-a)^2} \] \[ = \frac{4(10-a)}{(5-a)^4(5+a)} \] Теперь прибавим \( \frac{3a}{a+5} \). \[ \frac{4(10-a)}{(5-a)^4(5+a)} + \frac{3a}{a+5} \] Если \(a+5 \neq 0\) и \(5-a \neq 0\). Это выражение не упрощается до более простого вида без дополнительных условий. Возможно, в задаче имелось в виду, что деление относится только к скобке, а затем к результату прибавляется \( \frac{3a}{a+5} \). Если это так, то решение выше верно. Давайте рассмотрим другой вариант, если деление относится ко всему выражению после скобок. Но это маловероятно из-за расстановки знаков. Предположим, что в задаче есть опечатка и вместо \( \frac{(5-a)^2}{2} \) должно быть что-то, что упрощает выражение. Например, если бы было \( \frac{2}{(5-a)^2} \), то: \[ \frac{2(10-a)}{(5-a)^2(5+a)} \cdot \frac{2}{(5-a)^2} = \frac{4(10-a)}{(5-a)^4(5+a)} \] Давайте еще раз внимательно посмотрим на условие. \[ \left( \frac{3}{25-a^2} + \frac{1}{a^2-10a+25} \right) : \frac{(5-a)^2}{2} + \frac{3a}{a+5} \] Возможно, я неверно прочитал знак деления. Если это умножение, то: \[ \left( \frac{2(10-a)}{(5-a)^2(5+a)} \right) \cdot \frac{(5-a)^2}{2} + \frac{3a}{a+5} \] \[ = \frac{2(10-a)}{(5-a)^2(5+a)} \cdot \frac{(5-a)^2}{2} \] Сократим \((5-a)^2\) и \(2\): \[ = \frac{10-a}{5+a} \] Теперь прибавим \( \frac{3a}{a+5} \): \[ \frac{10-a}{5+a} + \frac{3a}{a+5} \] \[ = \frac{10-a+3a}{5+a} \] \[ = \frac{10+2a}{5+a} \] \[ = \frac{2(5+a)}{5+a} \] \[ = 2 \] Это гораздо более вероятный и красивый ответ. Скорее всего, знак между скобкой и дробью \( \frac{(5-a)^2}{2} \) - это умножение, а не деление. На фотографии знак выглядит как точка, которая обычно обозначает умножение. Примем, что это умножение. Решение (с умножением): 1. Упростим выражение в скобках: \[ \frac{3}{25-a^2} + \frac{1}{a^2-10a+25} \] Разложим знаменатели: \[ 25-a^2 = (5-a)(5+a) \] \[ a^2-10a+25 = (a-5)^2 = (5-a)^2 \] Приведем к общему знаменателю \((5-a)^2(5+a)\): \[ \frac{3(5-a)}{(5-a)^2(5+a)} + \frac{1(5+a)}{(5-a)^2(5+a)} \] \[ = \frac{15-3a+5+a}{(5-a)^2(5+a)} = \frac{20-2a}{(5-a)^2(5+a)} = \frac{2(10-a)}{(5-a)^2(5+a)} \] 2. Умножим полученное выражение на \( \frac{(5-a)^2}{2} \): \[ \frac{2(10-a)}{(5-a)^2(5+a)} \cdot \frac{(5-a)^2}{2} \] Сократим \((5-a)^2\) и \(2\): \[ = \frac{10-a}{5+a} \] 3. Прибавим \( \frac{3a}{a+5} \): \[ \frac{10-a}{5+a} + \frac{3a}{a+5} \] Так как \(a+5 = 5+a\), знаменатели одинаковые: \[ = \frac{10-a+3a}{5+a} \] \[ = \frac{10+2a}{5+a} \] Вынесем \(2\) из числителя: \[ = \frac{2(5+a)}{5+a} \] Сократим \(5+a\) (при условии, что \(a \neq -5\)): \[ = 2 \] Ответ: \( 2 \) 3) Найдите значение выражения при \(p = -0,35\) \[ \frac{12p^2-9}{4p} - 3p \] Решение: Сначала упростим выражение. Разделим числитель первой дроби на знаменатель: \[ \frac{12p^2}{4p} - \frac{9}{4p} - 3p \] Сократим первую дробь: \[ 3p - \frac{9}{4p} - 3p \] Приведем подобные слагаемые: \[ (3p - 3p) - \frac{9}{4p} \] \[ = -\frac{9}{4p} \] Теперь подставим значение \(p = -0,35\): \[ -\frac{9}{4 \cdot (-0,35)} \] \[ = -\frac{9}{-1,4} \] \[ = \frac{9}{1,4} \] Чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \(10\): \[ = \frac{9 \cdot 10}{1,4 \cdot 10} \] \[ = \frac{90}{14} \] Сократим дробь на \(2\): \[ = \frac{45}{7} \] Можно также представить в виде смешанной дроби или десятичной: \[ \frac{45}{7} = 6 \frac{3}{7} \] Или десятичной (округлим до сотых): \[ \frac{45}{7} \approx 6,43 \] Ответ: \( \frac{45}{7} \) или \( 6 \frac{3}{7} \) или \( \approx 6,43 \)