Решение задач на сокращение дробей

Хорошо, давайте решим эти задачи по порядку.
1) Сократите дробь а) \[ \frac{7a}{a^2+5a} \] Решение: В знаменателе вынесем общий множитель \(a\) за скобки: \[ a^2+5a = a(a+5) \] Теперь дробь выглядит так: \[ \frac{7a}{a(a+5)} \] Сократим \(a\) в числителе и знаменателе (при условии, что \(a \neq 0\)): \[ \frac{7}{a+5} \] Ответ: \[ \frac{7}{a+5} \]
б) \[ \frac{7x+7y}{x^2-y^2} \] Решение: В числителе вынесем общий множитель \(7\) за скобки: \[ 7x+7y = 7(x+y) \] В знаменателе применим формулу разности квадратов: \(x^2-y^2 = (x-y)(x+y)\). Теперь дробь выглядит так: \[ \frac{7(x+y)}{(x-y)(x+y)} \] Сократим \(x+y\) в числителе и знаменателе (при условии, что \(x+y \neq 0\), то есть \(x \neq -y\)): \[ \frac{7}{x-y} \] Ответ: \[ \frac{7}{x-y} \]
2) Выполните действия а) \[ \frac{3x-1}{x^2} + \frac{x-9}{3x} \] Решение: Найдем общий знаменатель. Общий знаменатель для \(x^2\) и \(3x\) будет \(3x^2\). Домножим первую дробь на \(3\), а вторую на \(x\): \[ \frac{(3x-1) \cdot 3}{x^2 \cdot 3} + \frac{(x-9) \cdot x}{3x \cdot x} \] \[ \frac{9x-3}{3x^2} + \frac{x^2-9x}{3x^2} \] Теперь сложим числители: \[ \frac{9x-3+x^2-9x}{3x^2} \] Приведем подобные слагаемые в числителе: \[ \frac{x^2-3}{3x^2} \] Ответ: \[ \frac{x^2-3}{3x^2} \]
б) \[ \frac{4a^2-1}{a^2-9} : \frac{6a+3}{a+3} \] Решение: Деление дробей заменяется умножением на обратную дробь: \[ \frac{4a^2-1}{a^2-9} \cdot \frac{a+3}{6a+3} \] Разложим числители и знаменатели на множители: \(4a^2-1 = (2a)^2-1^2 = (2a-1)(2a+1)\) (разность квадратов) \(a^2-9 = a^2-3^2 = (a-3)(a+3)\) (разность квадратов) \(6a+3 = 3(2a+1)\) (вынесение общего множителя) Подставим разложенные множители в выражение: \[ \frac{(2a-1)(2a+1)}{(a-3)(a+3)} \cdot \frac{a+3}{3(2a+1)} \] Сократим общие множители \(a+3\) и \(2a+1\): \[ \frac{(2a-1)}{a-3} \cdot \frac{1}{3} \] \[ \frac{2a-1}{3(a-3)} \] Ответ: \[ \frac{2a-1}{3(a-3)} \]
в) \[ \frac{4-3b}{b^2-2b} + \frac{3}{b-2} \] Решение: Разложим знаменатель первой дроби на множители: \[ b^2-2b = b(b-2) \] Теперь выражение выглядит так: \[ \frac{4-3b}{b(b-2)} + \frac{3}{b-2} \] Общий знаменатель будет \(b(b-2)\). Домножим вторую дробь на \(b\): \[ \frac{4-3b}{b(b-2)} + \frac{3 \cdot b}{(b-2) \cdot b} \] \[ \frac{4-3b}{b(b-2)} + \frac{3b}{b(b-2)} \] Сложим числители: \[ \frac{4-3b+3b}{b(b-2)} \] Приведем подобные слагаемые в числителе: \[ \frac{4}{b(b-2)} \] Ответ: \[ \frac{4}{b(b-2)} \]
г) \[ \left( \frac{3}{25-a^2} + \frac{1}{a^2-10a+25} \right) \cdot \frac{(5-a)^2}{2} + \frac{3a}{a+5} \] Решение: Сначала упростим выражение в скобках. Разложим знаменатели на множители: \(25-a^2 = 5^2-a^2 = (5-a)(5+a)\) \(a^2-10a+25 = (a-5)^2\) Заметим, что \((a-5)^2 = (-(5-a))^2 = (5-a)^2\). Теперь выражение в скобках: \[ \frac{3}{(5-a)(5+a)} + \frac{1}{(5-a)^2} \] Общий знаменатель для этих дробей будет \((5-a)^2(5+a)\). Домножим первую дробь на \((5-a)\), а вторую на \((5+a)\): \[ \frac{3(5-a)}{(5-a)^2(5+a)} + \frac{1(5+a)}{(5-a)^2(5+a)} \] \[ \frac{15-3a+5+a}{(5-a)^2(5+a)} \] \[ \frac{20-2a}{(5-a)^2(5+a)} \] Вынесем \(2\) из числителя: \[ \frac{2(10-a)}{(5-a)^2(5+a)} \] Теперь умножим это на \(\frac{(5-a)^2}{2}\): \[ \frac{2(10-a)}{(5-a)^2(5+a)} \cdot \frac{(5-a)^2}{2} \] Сократим \(2\) и \((5-a)^2\): \[ \frac{10-a}{5+a} \] Теперь добавим \(\frac{3a}{a+5}\). Заметим, что \(5+a = a+5\). \[ \frac{10-a}{a+5} + \frac{3a}{a+5} \] Сложим числители, так как знаменатели одинаковые: \[ \frac{10-a+3a}{a+5} \] \[ \frac{10+2a}{a+5} \] Вынесем \(2\) из числителя: \[ \frac{2(5+a)}{a+5} \] Сократим \(5+a\) (при условии, что \(a+5 \neq 0\), то есть \(a \neq -5\)): \[ 2 \] Ответ: \(2\)
3) Найдите значение выражения при \(p=-0,35\) \[ \frac{12p^2-9}{4p} - 3p \] Решение: Сначала упростим выражение. Разделим числитель первой дроби на знаменатель: \[ \frac{12p^2}{4p} - \frac{9}{4p} - 3p \] Сократим первую дробь: \[ 3p - \frac{9}{4p} - 3p \] Приведем подобные слагаемые: \[ -\frac{9}{4p} \] Теперь подставим значение \(p=-0,35\): \[ -\frac{9}{4 \cdot (-0,35)} \] \[ -\frac{9}{-1,4} \] \[ \frac{9}{1,4} \] Чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \(10\): \[ \frac{9 \cdot 10}{1,4 \cdot 10} = \frac{90}{14} \] Сократим дробь на \(2\): \[ \frac{90 \div 2}{14 \div 2} = \frac{45}{7} \] Можно также представить в виде смешанной дроби или десятичной: \[ \frac{45}{7} = 6 \frac{3}{7} \] Или в виде десятичной дроби (округлим до сотых): \[ 45 \div 7 \approx 6,43 \] Ответ: \[ \frac{45}{7} \] или \(6 \frac{3}{7}\) или примерно \(6,43\). Для школьной тетради лучше оставить в виде обыкновенной дроби.