Решение задачи: Найти эквивалентное сопротивление R цепи

Решим задачи по порядку. Задача 1.1. Определить эквивалентное сопротивление \(R_{ab}\) пассивной цепи (схема 1.13), если \(R_1 = 2,5\) Ом, \(R_2 = 4\) Ом, \(R_3 = 2\) Ом, \(R_4 = 6\) Ом, \(R_5 = 3\) Ом. Решение: Схема 1.13 содержит мостовую схему, которая может быть преобразована. Для упрощения схемы, мы можем использовать преобразование "треугольник-звезда" или "звезда-треугольник". В данном случае, удобнее преобразовать "треугольник" из резисторов \(R_1\), \(R_4\), \(R_5\) в "звезду". Однако, если внимательно посмотреть, то резисторы \(R_4\) и \(R_5\) образуют "треугольник" с узлом между \(R_1\) и \(R_2\), и нижним узлом. Давайте перерисуем схему, чтобы было понятнее. У нас есть два узла: верхний (между \(R_1\) и \(R_2\)) и нижний (общий для \(R_5\), \(R_4\) и \(R_3\)). Резисторы \(R_4\) и \(R_5\) соединены между собой и с верхним узлом. Резистор \(R_3\) соединен с нижним узлом и с резистором \(R_2\). Рассмотрим "треугольник", образованный резисторами \(R_1\), \(R_5\) и \(R_4\). Вершины этого "треугольника": 1. Узел 'a' 2. Узел между \(R_1\) и \(R_2\) (назовем его 'c') 3. Узел между \(R_5\), \(R_4\) и \(R_3\) (назовем его 'd') Резисторы: \(R_{ac} = R_1\) \(R_{cd} = R_4\) \(R_{da} = R_5\) Преобразуем этот "треугольник" в "звезду" с центральной точкой 'O'. Формулы для преобразования "треугольник-звезда": \(R_{Oa} = \frac{R_1 \cdot R_5}{R_1 + R_4 + R_5}\) \(R_{Oc} = \frac{R_1 \cdot R_4}{R_1 + R_4 + R_5}\) \(R_{Od} = \frac{R_4 \cdot R_5}{R_1 + R_4 + R_5}\) Подставим значения: \(R_1 = 2,5\) Ом \(R_4 = 6\) Ом \(R_5 = 3\) Ом Сумма сопротивлений: \(R_1 + R_4 + R_5 = 2,5 + 6 + 3 = 11,5\) Ом. \(R_{Oa} = \frac{2,5 \cdot 3}{11,5} = \frac{7,5}{11,5} \approx 0,652\) Ом \(R_{Oc} = \frac{2,5 \cdot 6}{11,5} = \frac{15}{11,5} \approx 1,304\) Ом \(R_{Od} = \frac{6 \cdot 3}{11,5} = \frac{18}{11,5} \approx 1,565\) Ом Теперь схема выглядит так: От точки 'a' идет \(R_{Oa}\) к центральной точке 'O'. От точки 'c' (между \(R_1\) и \(R_2\)) идет \(R_{Oc}\) к центральной точке 'O'. От точки 'd' (между \(R_5\), \(R_4\) и \(R_3\)) идет \(R_{Od}\) к центральной точке 'O'. После преобразования, резистор \(R_2\) последовательно соединен с \(R_{Oc}\). Их эквивалентное сопротивление: \(R_{2c} = R_2 + R_{Oc} = 4 + 1,304 = 5,304\) Ом. Резистор \(R_3\) последовательно соединен с \(R_{Od}\). Их эквивалентное сопротивление: \(R_{3d} = R_3 + R_{Od} = 2 + 1,565 = 3,565\) Ом. Теперь \(R_{2c}\) и \(R_{3d}\) соединены параллельно. Их эквивалентное сопротивление: \[R_{par} = \frac{R_{2c} \cdot R_{3d}}{R_{2c} + R_{3d}} = \frac{5,304 \cdot 3,565}{5,304 + 3,565} = \frac{18,91}{8,869} \approx 2,132\] Ом. И, наконец, \(R_{ab}\) будет равно сумме \(R_{Oa}\) и \(R_{par}\). \[R_{ab} = R_{Oa} + R_{par} = 0,652 + 2,132 = 2,784\] Ом. Округлим до двух знаков после запятой. \[R_{ab} \approx 2,78\] Ом. Ответ: Эквивалентное сопротивление \(R_{ab}\) составляет примерно \(2,78\) Ом. --- Задача 1.2. Определить эквивалентное сопротивление \(R_{ab}\) пассивной цепи (схема 1.14), если \(R_1 = 3\) Ом, \(R_2 = 7\) Ом, \(R_3 = 10\) Ом, \(R_4 = 6\) Ом, \(R_5 = 6\) Ом, \(R_6 = 2\) Ом. Решение: Рассмотрим схему 1.14. Резисторы \(R_3\), \(R_4\), \(R_5\) образуют мостовую схему. Резисторы \(R_4\) и \(R_5\) соединены параллельно. \[R_{45} = \frac{R_4 \cdot R_5}{R_4 + R_5} = \frac{6 \cdot 6}{6 + 6} = \frac{36}{12} = 3\] Ом. Теперь резистор \(R_3\) соединен последовательно с \(R_{45}\). \[R_{345} = R_3 + R_{45} = 10 + 3 = 13\] Ом. Теперь у нас есть две параллельные ветви: 1. Ветвь с \(R_1\) 2. Ветвь с \(R_{345}\) и \(R_2\) Однако, это не совсем так. Давайте внимательно посмотрим на узлы. Узел между \(R_1\) и \(R_3\) (назовем его 'c'). Узел между \(R_2\), \(R_4\) и \(R_5\) (назовем его 'd'). Узел 'a' и узел 'b'. Резистор \(R_1\) соединен между 'a' и 'c'. Резистор \(R_6\) соединен между 'b' и 'c'. Резистор \(R_3\) соединен между 'c' и 'd'. Резистор \(R_4\) соединен между 'd' и нижним проводом. Резистор \(R_5\) соединен между 'd' и нижним проводом. Резистор \(R_2\) соединен между 'c' и 'd'. Ой, я ошибся в интерпретации схемы. Давайте перерисуем её, чтобы было понятнее. У нас есть два верхних узла: 'a' и узел после \(R_1\). И два нижних узла: 'b' и узел после \(R_6\). Давайте обозначим узлы: 1. Узел 'a' 2. Узел 'b' 3. Узел между \(R_1\) и \(R_3\) (назовем его \(U_1\)) 4. Узел между \(R_3\), \(R_4\) и \(R_5\) (назовем его \(U_2\)) 5. Узел между \(R_2\), \(R_4\) и \(R_5\) (назовем его \(U_3\)) Схема 1.14: \(R_1\) между 'a' и \(U_1\). \(R_6\) между 'b' и \(U_1\). \(R_3\) между \(U_1\) и \(U_2\). \(R_4\) между \(U_2\) и \(U_3\). \(R_5\) между \(U_2\) и \(U_3\). \(R_2\) между \(U_1\) и \(U_3\). Это мостовая схема. Резисторы \(R_4\) и \(R_5\) соединены параллельно. \[R_{45} = \frac{R_4 \cdot R_5}{R_4 + R_5} = \frac{6 \cdot 6}{6 + 6} = \frac{36}{12} = 3\] Ом. Теперь схема упрощается. Между узлами \(U_2\) и \(U_3\) находится \(R_{45}\). Теперь у нас есть мост Уитстона, где: Плечи моста: \(R_3\), \(R_2\), \(R_{45}\). Ветвь между \(U_1\) и \(U_2\) - \(R_3\). Ветвь между \(U_1\) и \(U_3\) - \(R_2\). Ветвь между \(U_2\) и \(U_3\) - \(R_{45}\). Это не совсем мост Уитстона в классическом виде. Давайте перерисуем схему, чтобы было понятнее. Узел \(U_1\) соединен с 'a' через \(R_1\) и с 'b' через \(R_6\). Узел \(U_1\) соединен с \(U_2\) через \(R_3\). Узел \(U_1\) соединен с \(U_3\) через \(R_2\). Узел \(U_2\) соединен с \(U_3\) через \(R_{45}\). Это "треугольник" из \(R_2\), \(R_3\), \(R_{45}\) с вершинами \(U_1\), \(U_2\), \(U_3\). Преобразуем этот "треугольник" в "звезду". Пусть центральная точка звезды будет 'O'. Сопротивления звезды: \(R_{OU1} = \frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3 + R_{45}}\) \(R_{OU2} = \frac{R_3 \cdot R_{45}}{R_2 + R_3 + R_{45}}\) \(R_{OU3} = \frac{R_2 \cdot R_{45}}{R_2 + R_3 + R_{45}}\) Подставим значения: \(R_2 = 7\) Ом \(R_3 = 10\) Ом \(R_{45} = 3\) Ом Сумма сопротивлений: \(R_2 + R_3 + R_{45} = 7 + 10 + 3 = 20\) Ом. \(R_{OU1} = \frac{7 \cdot 10}{20} = \frac{70}{20} = 3,5\) Ом. \(R_{OU2} = \frac{10 \cdot 3}{20} = \frac{30}{20} = 1,5\) Ом. \(R_{OU3} = \frac{7 \cdot 3}{20} = \frac{21}{20} = 1,05\) Ом. Теперь схема выглядит так: От 'a' к \(U_1\) идет \(R_1\). От 'b' к \(U_1\) идет \(R_6\). От \(U_1\) к 'O' идет \(R_{OU1}\). От \(U_2\) к 'O' идет \(R_{OU2}\). От \(U_3\) к 'O' идет \(R_{OU3}\). Теперь у нас есть две параллельные ветви, которые идут от 'O': 1. Ветвь \(R_{OU2}\) 2. Ветвь \(R_{OU3}\) Это не совсем так. После преобразования "треугольника" в "звезду", у нас есть центральная точка 'O'. От 'a' идет \(R_1\), затем \(R_{OU1}\) к 'O'. От 'b' идет \(R_6\), затем \(R_{OU1}\) к 'O'. Это неверно. \(R_{OU1}\) идет от \(U_1\) к 'O'. Давайте перерисуем схему после преобразования. Узел 'a' соединен с \(U_1\) через \(R_1\). Узел 'b' соединен с \(U_1\) через \(R_6\). Узел \(U_1\) соединен с центральной точкой 'O' через \(R_{OU1}\). Узел \(U_2\) соединен с центральной точкой 'O' через \(R_{OU2}\). Узел \(U_3\) соединен с центральной точкой 'O' через \(R_{OU3}\). Теперь, если мы смотрим на схему между 'a' и 'b': Ветвь от 'a' к 'O' состоит из \(R_1\) и \(R_{OU1}\) последовательно. \[R_{aO} = R_1 + R_{OU1} = 3 + 3,5 = 6,5\] Ом. Ветвь от 'b' к 'O' состоит из \(R_6\) и \(R_{OU1}\) последовательно. \[R_{bO} = R_6 + R_{OU1} = 2 + 3,5 = 5,5\] Ом. Это неверно. \(R_{OU1}\) - это сопротивление от \(U_1\) до 'O'. Узел \(U_1\) - это точка, куда приходят \(R_1\) и \(R_6\). Давайте еще раз внимательно посмотрим на схему. У нас есть узлы 'a', 'b', \(U_1\), \(U_2\), \(U_3\). \(R_1\) между 'a' и \(U_1\). \(R_6\) между 'b' и \(U_1\). \(R_3\) между \(U_1\) и \(U_2\). \(R_2\) между \(U_1\) и \(U_3\). \(R_4\) между \(U_2\) и \(U_3\). \(R_5\) между \(U_2\) и \(U_3\). Сначала параллельное соединение \(R_4\) и \(R_5\): \[R_{45} = \frac{R_4 \cdot R_5}{R_4 + R_5} = \frac{6 \cdot 6}{6 + 6} = 3\] Ом. Теперь схема выглядит так: \(R_1\) между 'a' и \(U_1\). \(R_6\) между 'b' и \(U_1\). \(R_3\) между \(U_1\) и \(U_2\). \(R_2\) между \(U_1\) и \(U_3\). \(R_{45}\) между \(U_2\) и \(U_3\). Это мост Уитстона, где \(R_3\), \(R_2\), \(R_{45}\) образуют "треугольник" с вершинами \(U_1\), \(U_2\), \(U_3\). Преобразуем этот "треугольник" в "звезду" с центральной точкой 'O'. Сопротивления звезды: \(R_{U1O} = \frac{R_3 \cdot R_2}{R_3 + R_2 + R_{45}} = \frac{10 \cdot 7}{10 + 7 + 3} = \frac{70}{20} = 3,5\) Ом. \(R_{U2O} = \frac{R_3 \cdot R_{45}}{R_3 + R_2 + R_{45}} = \frac{10 \cdot 3}{20} = \frac{30}{20} = 1,5\) Ом. \(R_{U3O} = \frac{R_2 \cdot R_{45}}{R_3 + R_2 + R_{45}} = \frac{7 \cdot 3}{20} = \frac{21}{20} = 1,05\) Ом. Теперь схема выглядит так: От 'a' к \(U_1\) идет \(R_1\). От 'b' к \(U_1\) идет \(R_6\). От \(U_1\) к 'O' идет \(R_{U1O}\). От \(U_2\) к 'O' идет \(R_{U2O}\). От \(U_3\) к 'O