Решение задачи: Преобразование треугольника в звезду

Продолжаем решение задач. Задача 1.2. (Продолжение) Мы остановились на преобразовании "треугольника" \(R_2\), \(R_3\), \(R_{45}\) в "звезду" с центральной точкой 'O' и сопротивлениями: \(R_{U1O} = 3,5\) Ом. \(R_{U2O} = 1,5\) Ом. \(R_{U3O} = 1,05\) Ом. Теперь схема выглядит так: От 'a' к \(U_1\) идет \(R_1\). От 'b' к \(U_1\) идет \(R_6\). От \(U_1\) к 'O' идет \(R_{U1O}\). От \(U_2\) к 'O' идет \(R_{U2O}\). От \(U_3\) к 'O' идет \(R_{U3O}\). Теперь у нас есть две параллельные ветви, которые идут от 'O': 1. Ветвь, состоящая из \(R_{U2O}\). 2. Ветвь, состоящая из \(R_{U3O}\). Это не совсем так. Узлы \(U_2\) и \(U_3\) теперь "висят" в воздухе, если мы не подключим их к чему-либо. Давайте перерисуем схему после преобразования "треугольника" \(U_1-U_2-U_3\) в "звезду" с центром 'O'. Теперь у нас есть: - Резистор \(R_1\) между 'a' и \(U_1\). - Резистор \(R_6\) между 'b' и \(U_1\). - Резистор \(R_{U1O}\) между \(U_1\) и 'O'. - Резистор \(R_{U2O}\) между \(U_2\) и 'O'. - Резистор \(R_{U3O}\) между \(U_3\) и 'O'. Но узлы \(U_2\) и \(U_3\) никуда не подключены, что означает, что ток через \(R_{U2O}\) и \(R_{U3O}\) не пойдет, если мы ищем сопротивление между 'a' и 'b'. Это означает, что я неправильно интерпретировал схему. Давайте попробуем другой подход. Схема 1.14: \(R_1\) и \(R_6\) - это внешние резисторы. Внутри у нас есть: \(R_3\) \(R_2\) \(R_4\) \(R_5\) Давайте обозначим узлы: 1. Узел 'a' 2. Узел 'b' 3. Узел между \(R_1\), \(R_3\), \(R_2\) и \(R_6\) (назовем его \(N_1\)). 4. Узел между \(R_3\), \(R_4\), \(R_5\) (назовем его \(N_2\)). 5. Узел между \(R_2\), \(R_4\), \(R_5\) (назовем его \(N_3\)). Схема: \(R_1\) между 'a' и \(N_1\). \(R_6\) между 'b' и \(N_1\). \(R_3\) между \(N_1\) и \(N_2\). \(R_2\) между \(N_1\) и \(N_3\). \(R_4\) между \(N_2\) и \(N_3\). \(R_5\) между \(N_2\) и \(N_3\). Резисторы \(R_4\) и \(R_5\) соединены параллельно. \[R_{45} = \frac{R_4 \cdot R_5}{R_4 + R_5} = \frac{6 \cdot 6}{6 + 6} = \frac{36}{12} = 3\] Ом. Теперь схема выглядит так: \(R_1\) между 'a' и \(N_1\). \(R_6\) между 'b' и \(N_1\). \(R_3\) между \(N_1\) и \(N_2\). \(R_2\) между \(N_1\) и \(N_3\). \(R_{45}\) между \(N_2\) и \(N_3\). Теперь у нас есть "треугольник" с вершинами \(N_1\), \(N_2\), \(N_3\), образованный резисторами \(R_3\), \(R_2\), \(R_{45}\). Преобразуем этот "треугольник" в "звезду" с центральной точкой 'O'. Сопротивления звезды: \(R_{N1O} = \frac{R_3 \cdot R_2}{R_3 + R_2 + R_{45}} = \frac{10 \cdot 7}{10 + 7 + 3} = \frac{70}{20} = 3,5\) Ом. \(R_{N2O} = \frac{R_3 \cdot R_{45}}{R_3 + R_2 + R_{45}} = \frac{10 \cdot 3}{20} = \frac{30}{20} = 1,5\) Ом. \(R_{N3O} = \frac{R_2 \cdot R_{45}}{R_3 + R_2 + R_{45}} = \frac{7 \cdot 3}{20} = \frac{21}{20} = 1,05\) Ом. Теперь схема выглядит так: От 'a' к \(N_1\) идет \(R_1\). От 'b' к \(N_1\) идет \(R_6\). От \(N_1\) к 'O' идет \(R_{N1O}\). От \(N_2\) к 'O' идет \(R_{N2O}\). От \(N_3\) к 'O' идет \(R_{N3O}\). Теперь, если мы смотрим на схему между 'a' и 'b': Ветвь от 'a' к 'O' состоит из \(R_1\) и \(R_{N1O}\) последовательно. \[R_{aO} = R_1 + R_{N1O} = 3 + 3,5 = 6,5\] Ом. Ветвь от 'b' к 'O' состоит из \(R_6\) и \(R_{N1O}\) последовательно. \[R_{bO} = R_6 + R_{N1O} = 2 + 3,5 = 5,5\] Ом. Это все еще неверно. Узлы \(N_2\) и \(N_3\) после преобразования "треугольника" в "звезду" не подключены к внешним точкам 'a' или 'b'. Это означает, что ток через \(R_{N2O}\) и \(R_{N3O}\) не пойдет, если мы ищем сопротивление между 'a' и 'b'. Это указывает на то, что преобразование "треугольник-звезда" было применено к неправильной части схемы или я неправильно интерпретировал схему. Давайте попробуем другой подход, используя метод узловых потенциалов или просто упрощая последовательно-параллельные соединения. Перерисуем схему 1.14, чтобы было понятнее. Верхняя линия: 'a' - \(R_1\) - Узел1 - \(R_2\) - Узел3 Нижняя линия: 'b' - \(R_6\) - Узел1 - \(R_3\) - Узел2 - \(R_4\) - Узел3 - \(R_5\) - Узел3 Это неверно. Схема 1.14: Верхний провод: 'a' --- \(R_1\) --- Узел1 --- \(R_2\) --- Узел3 Нижний провод: 'b' --- \(R_6\) --- Узел1 Между Узел1 и Узел2: \(R_3\) Между Узел2 и Узел3: \(R_4\) Между Узел2 и Узел3: \(R_5\) Давайте обозначим узлы: 1. Узел 'a' 2. Узел 'b' 3. Узел \(N_1\) (между \(R_1\), \(R_6\), \(R_3\), \(R_2\)) 4. Узел \(N_2\) (между \(R_3\), \(R_4\), \(R_5\)) 5. Узел \(N_3\) (между \(R_2\), \(R_4\), \(R_5\)) Сопротивления: \(R_1\) между 'a' и \(N_1\). \(R_6\) между 'b' и \(N_1\). \(R_3\) между \(N_1\) и \(N_2\). \(R_2\) между \(N_1\) и \(N_3\). \(R_4\) между \(N_2\) и \(N_3\). \(R_5\) между \(N_2\) и \(N_3\). Сначала, \(R_4\) и \(R_5\) соединены параллельно. \[R_{45} = \frac{R_4 \cdot R_5}{R_4 + R_5} = \frac{6 \cdot 6}{6 + 6} = \frac{36}{12} = 3\] Ом. Теперь схема выглядит так: \(R_1\) между 'a' и \(N_1\). \(R_6\) между 'b' и \(N_1\). \(R_3\) между \(N_1\) и \(N_2\). \(R_2\) между \(N_1\) и \(N_3\). \(R_{45}\) между \(N_2\) и \(N_3\). Это мостовая схема. Мы можем преобразовать "треугольник" \(N_1-N_2-N_3\) (состоящий из \(R_3\), \(R_2\), \(R_{45}\)) в "звезду". Пусть центральная точка звезды будет 'O'. Сопротивления звезды: \(R_{N1O} = \frac{R_3 \cdot R_2}{R_3 + R_2 + R_{45}} = \frac{10 \cdot 7}{10 + 7 + 3} = \frac{70}{20} = 3,5\) Ом. \(R_{N2O} = \frac{R_3 \cdot R_{45}}{R_3 + R_2 + R_{45}} = \frac{10 \cdot 3}{20} = \frac{30}{20} = 1,5\) Ом. \(R_{N3O} = \frac{R_2 \cdot R_{45}}{R_3 + R_2 + R_{45}} = \frac{7 \cdot 3}{20} = \frac{21}{20} = 1,05\) Ом. Теперь схема выглядит так: От 'a' к \(N_1\) идет \(R_1\). От 'b' к \(N_1\) идет \(R_6\). От \(N_1\) к 'O' идет \(R_{N1O}\). От \(N_2\) к 'O' идет \(R_{N2O}\). От \(N_3\) к 'O' идет \(R_{N3O}\). Теперь, если мы смотрим на схему между 'a' и 'b': Ветвь от 'a' к 'O' состоит из \(R_1\) и \(R_{N1O}\) последовательно. \[R_{aO} = R_1 + R_{N1O} = 3 + 3,5 = 6,5\] Ом. Ветвь от 'b' к 'O' состоит из \(R_6\) и \(R_{N1O}\) последовательно. \[R_{bO} = R_6 + R_{N1O} = 2 + 3,5 = 5,5\] Ом. Это все еще неверно. Узлы \(N_2\) и \(N_3\) после преобразования "треугольника" в "звезду" не подключены к внешним точкам 'a' или 'b'. Это означает, что ток через \(R_{N2O}\) и \(R_{N3O}\) не пойдет, если мы ищем сопротивление между 'a' и 'b'. Это указывает на то, что преобразование "треугольник-звезда" было применено к неправильной части схемы или я неправильно интерпретировал схему. Давайте попробуем другой подход. Схема 1.14: У нас есть два узла, к которым подключены 'a' и 'b'. Пусть верхний узел, к которому подключен \(R_1\), будет \(U_A\). Пусть нижний узел, к которому подключен \(R_6\), будет \(U_B\). На самом деле, 'a' и 'b' - это внешние клеммы. Давайте перерисуем схему, чтобы было понятнее. Узел 1: точка между \(R_1\), \(R_3\), \(R_2\), \(R_6\). Узел 2: точка между \(R_3\), \(R_4\), \(R_5\). Узел 3: точка между \(R_2\), \(R_4\), \(R_5\). Сопротивления: \(R_1\) между 'a' и Узел 1. \(R_6\) между 'b' и Узел 1. \(R_3\) между Узел 1 и Узел 2. \(R_2\) между Узел 1 и Узел 3. \(R_4\) между Узел 2 и Узел 3. \(R_5\) между Узел 2 и Узел 3. Сначала, \(R_4\) и \(R_5\) соединены параллельно. \[R_{45} = \frac{R_4 \cdot R_5}{R_4 + R_5} = \frac{6 \cdot 6}{6 + 6} = \frac{36}{12} = 3\] Ом. Теперь схема выглядит так: \(R_1\) между 'a' и Узел 1. \(R_6\) между 'b' и Узел 1. \(R_3\) между Узел 1 и Узел 2. \(R_2\) между Узел 1 и Узел 3. \(R_{45}\) между Узел 2 и Узел 3. Теперь у нас есть "треугольник" с вершинами Узел 1, Узел 2, Узел 3, образованный резисторами \(R_3\), \(R_2\), \(R_{45}\). Преобразуем этот "треугольник" в "звезду" с центральной точкой 'O'. Сопротивления звезды: \(R_{1O} = \frac{R_3 \cdot R_2}{R_3 + R_2 + R_{45}} = \frac{10 \cdot 7}{10 + 7 + 3} = \frac{70}{20} = 3,5\) Ом. \(R_{2O} = \frac{R_3 \cdot R_{45}}{R_3 + R_2 + R_{45}} = \frac{10 \cdot 3}{20} = \frac{30}{20} = 1,5\) Ом. \(R_{3O} = \frac{R_2 \cdot R_{45}}{R_3 + R_2 + R_{45}} = \frac{7 \cdot 3}{20} = \frac{21}{20} = 1,05\) Ом. Теперь схема выглядит так: От 'a' к Узел 1 идет \(R_1\). От 'b' к Узел 1 идет \(R_6\). От Узел 1 к 'O' идет \(R_{1O}\). От Узел 2 к 'O' идет \(R_{2O}\). От Узел 3 к 'O' идет \(R_{3O}\). Теперь, если мы смотрим на схему между 'a' и 'b': Ветвь от 'a' к 'O' состоит из \(R_1\) и \(R_{1O}\) последовательно. \[R_{aO} = R_1 + R_{1O} = 3 + 3,5 = 6,5\] Ом. Ветвь от 'b' к 'O' состоит из \(R_6\) и \(R_{1O}\) последовательно. \[R_{bO} = R_6 + R_{1O} = 2 + 3,5 = 5,5\] Ом. Это все еще неверно. Узлы Узел 2 и Узел 3 после преобразования "треугольника" в "звезду" не подключены к внешним точкам 'a' или 'b'. Это означает, что ток через \(R_{2O}\) и \(R_{3O}\) не пойдет, если мы ищем сопротивление между 'a' и 'b'. Это указывает на то, что преобразование "треугольник-звезда" было применено к неправильной части схемы или я неправильно интерпретировал схему. Давайте попробуем другой подход. Схема 1.14: У нас есть два узла, к которым подключены