Решение пределов: примеры и объяснения

Вот решение задач по вычислению пределов. Вариант 1. №1. Вычислить пределы: 1. \[ \lim_{x \to 3} \frac{5x^2 - 4x}{2x + 8} \] Решение: Поскольку знаменатель не обращается в ноль при \(x = 3\), мы можем просто подставить значение \(x = 3\) в выражение. \[ \lim_{x \to 3} \frac{5x^2 - 4x}{2x + 8} = \frac{5(3)^2 - 4(3)}{2(3) + 8} \] \[ = \frac{5(9) - 12}{6 + 8} \] \[ = \frac{45 - 12}{14} \] \[ = \frac{33}{14} \] Ответ: \( \frac{33}{14} \) 2. \[ \lim_{x \to 0} \frac{x^3 + 3x}{x^2 + x} \] Решение: При подстановке \(x = 0\) получаем неопределенность вида \( \frac{0}{0} \). Разложим числитель и знаменатель на множители, вынеся \(x\). \[ \lim_{x \to 0} \frac{x(x^2 + 3)}{x(x + 1)} \] Сократим \(x\), так как \(x \to 0\), но \(x \neq 0\). \[ = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 + 3}{x + 1} \] Теперь подставим \(x = 0\). \[ = \frac{0^2 + 3}{0 + 1} \] \[ = \frac{3}{1} \] \[ = 3 \] Ответ: \( 3 \) 3. \[ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 + x - 6}{x - 2} \] Решение: При подстановке \(x = 2\) получаем неопределенность вида \( \frac{0}{0} \). Разложим числитель на множители. Для квадратного трехчлена \(ax^2 + bx + c\) корни \(x_1, x_2\) можно найти по формуле \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\). Для \(x^2 + x - 6 = 0\): \(x_1 = \frac{-1 + \sqrt{1^2 - 4(1)(-6)}}{2(1)} = \frac{-1 + \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2\) \(x_2 = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3\) Значит, \(x^2 + x - 6 = (x - 2)(x - (-3)) = (x - 2)(x + 3)\). Теперь подставим это в предел: \[ \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 3)}{x - 2} \] Сократим \(x - 2\), так как \(x \to 2\), но \(x \neq 2\). \[ = \lim_{x \to 2} (x + 3) \] Теперь подставим \(x = 2\). \[ = 2 + 3 \] \[ = 5 \] Ответ: \( 5 \) 4. \[ \lim_{x \to 12} \frac{\sqrt{x + 4} - 4}{x - 12} \] Решение: При подстановке \(x = 12\) получаем неопределенность вида \( \frac{0}{0} \). Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение к числителю, то есть на \( \sqrt{x + 4} + 4 \). \[ \lim_{x \to 12} \frac{(\sqrt{x + 4} - 4)(\sqrt{x + 4} + 4)}{(x - 12)(\sqrt{x + 4} + 4)} \] Используем формулу разности квадратов \( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \). \[ = \lim_{x \to 12} \frac{(\sqrt{x + 4})^2 - 4^2}{(x - 12)(\sqrt{x + 4} + 4)} \] \[ = \lim_{x \to 12} \frac{x + 4 - 16}{(x - 12)(\sqrt{x + 4} + 4)} \] \[ = \lim_{x \to 12} \frac{x - 12}{(x - 12)(\sqrt{x + 4} + 4)} \] Сократим \(x - 12\), так как \(x \to 12\), но \(x \neq 12\). \[ = \lim_{x \to 12} \frac{1}{\sqrt{x + 4} + 4} \] Теперь подставим \(x = 12\). \[ = \frac{1}{\sqrt{12 + 4} + 4} \] \[ = \frac{1}{\sqrt{16} + 4} \] \[ = \frac{1}{4 + 4} \] \[ = \frac{1}{8} \] Ответ: \( \frac{1}{8} \) 5. \[ \lim_{x \to \infty} \frac{5x^3 - 4x^2 + 6x - 7}{30x^3 + 14} \] Решение: При \(x \to \infty\) для рациональной функции предел равен отношению коэффициентов при старших степенях \(x\) в числителе и знаменателе, если степени равны. В данном случае старшая степень \(x\) в числителе и знаменателе равна 3. Разделим каждый член числителя и знаменателя на \(x^3\). \[ \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5x^3}{x^3} - \frac{4x^2}{x^3} + \frac{6x}{x^3} - \frac{7}{x^3}}{\frac{30x^3}{x^3} + \frac{14}{x^3}} \] \[ = \lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{4}{x} + \frac{6}{x^2} - \frac{7}{x^3}}{30 + \frac{14}{x^3}} \] Поскольку \( \lim_{x \to \infty} \frac{C}{x^n} = 0 \) для любой константы \(C\) и \(n > 0\), то: \[ = \frac{5 - 0 + 0 - 0}{30 + 0} \] \[ = \frac{5}{30} \] \[ = \frac{1}{6} \] Ответ: \( \frac{1}{6} \)