school
Общие знания
verified
Решено AI
Решение: Сокращение дроби (4a^2-20a+25)/(25-4a^2)
help_outline
Условие задачи
Реши а
lightbulb
Краткий ответ
Для сокращения дроби (4a^2-20a+25)/(25-4a^2) необходимо разложить числитель и знаменатель на множители. В результате сокращения получается -(2a-5)/(2a+5).
Подробное решение
Вот решение задачи а) из номера 344.
Задача: Сократите дробь:
а) \[ \frac{4a^2 - 20a + 25}{25 - 4a^2} \]
Решение:
Шаг 1: Разложим числитель на множители.
Числитель \( 4a^2 - 20a + 25 \) является полным квадратом разности.
Мы знаем формулу квадрата разности: \( (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \).
В нашем случае:
\( x^2 = 4a^2 \Rightarrow x = 2a \)
\( y^2 = 25 \Rightarrow y = 5 \)
Проверим средний член: \( 2xy = 2 \cdot (2a) \cdot 5 = 20a \).
Таким образом, числитель можно записать как:
\( 4a^2 - 20a + 25 = (2a - 5)^2 \)
Шаг 2: Разложим знаменатель на множители.
Знаменатель \( 25 - 4a^2 \) является разностью квадратов.
Мы знаем формулу разности квадратов: \( x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) \).
В нашем случае:
\( x^2 = 25 \Rightarrow x = 5 \)
\( y^2 = 4a^2 \Rightarrow y = 2a \)
Таким образом, знаменатель можно записать как:
\( 25 - 4a^2 = (5 - 2a)(5 + 2a) \)
Шаг 3: Перепишем дробь, используя разложенные на множители числитель и знаменатель.
\[ \frac{(2a - 5)^2}{(5 - 2a)(5 + 2a)} \]
Шаг 4: Заметим, что \( (2a - 5) \) и \( (5 - 2a) \) отличаются только знаком.
Мы можем записать \( (5 - 2a) \) как \( -(2a - 5) \).
Тогда знаменатель будет выглядеть так:
\( (5 - 2a)(5 + 2a) = -(2a - 5)(5 + 2a) \)
Шаг 5: Сократим дробь.
\[ \frac{(2a - 5)^2}{-(2a - 5)(5 + 2a)} \]
Сокращаем \( (2a - 5) \) в числителе и знаменателе:
\[ \frac{2a - 5}{-(5 + 2a)} \]
Или, вынося минус в числитель:
\[ -\frac{2a - 5}{5 + 2a} \]
Можно также записать как:
\[ \frac{5 - 2a}{5 + 2a} \]
Ответ:
\[ \frac{5 - 2a}{5 + 2a} \]