Решение задачи 540: Цилиндр (площадь поверхности)

Задача 540. Высота цилиндра на 12 см больше его радиуса, а площадь полной поверхности равна \(288\pi\) см\(^2\). Найдите радиус основания и высоту цилиндра. Дано: Цилиндр \(h = r + 12\) см \(S_{полн} = 288\pi\) см\(^2\) Найти: \(r\) - радиус основания \(h\) - высота цилиндра Рисунок: (Представьте себе цилиндр. Нарисуйте его. Обозначьте радиус основания \(r\) и высоту \(h\). Можно также показать, что \(h\) больше \(r\) на 12 см.) Решение: 1. Запишем формулу для площади полной поверхности цилиндра: \[S_{полн} = 2\pi r (r + h)\] 2. Подставим в эту формулу известные значения и выражение для \(h\): \[288\pi = 2\pi r (r + (r + 12))\] 3. Разделим обе части уравнения на \(2\pi\): \[\frac{288\pi}{2\pi} = r (r + r + 12)\] \[144 = r (2r + 12)\] 4. Раскроем скобки: \[144 = 2r^2 + 12r\] 5. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \[2r^2 + 12r - 144 = 0\] 6. Разделим все члены уравнения на 2 для упрощения: \[r^2 + 6r - 72 = 0\] 7. Решим квадратное уравнение, используя формулу для корней квадратного уравнения \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\). В нашем случае \(a = 1\), \(b = 6\), \(c = -72\). \[D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72)\] \[D = 36 + 288\] \[D = 324\] \[\sqrt{D} = \sqrt{324} = 18\] 8. Найдем корни \(r_1\) и \(r_2\): \[r_1 = \frac{-6 + 18}{2 \cdot 1} = \frac{12}{2} = 6\] \[r_2 = \frac{-6 - 18}{2 \cdot 1} = \frac{-24}{2} = -12\] 9. Радиус не может быть отрицательным, поэтому \(r = 6\) см. 10. Найдем высоту цилиндра, используя данное условие \(h = r + 12\): \[h = 6 + 12\] \[h = 18\] см Ответ: Радиус основания цилиндра равен 6 см, а высота цилиндра равна 18 см.