Решение задач по геометрии: Параллелепипед и Пирамида

Ниже представлено решение задач из вашего списка в удобном для переписывания виде. Задача 1. Дано: Многогранник в форме параллелепипеда с вырезом. Размеры большого параллелепипеда: \(a = 6\), \(b = 6\), \(c = 1\). Размеры выреза: \(a_1 = 2\), \(b_1 = 2\), \(c_1 = 1\). Найти: \(V\) Решение: Объем данного многогранника равен разности объема большого параллелепипеда и объема вырезанной части. \[V = V_{бол} - V_{выр}\] \[V_{бол} = 6 \cdot 6 \cdot 1 = 36\] \[V_{выр} = 2 \cdot 2 \cdot 1 = 4\] \[V = 36 - 4 = 32\] Ответ: 32. Задача 2. Дано: \(V_{пир} = 88\). Плоскость проходит через вершину и среднюю линию основания. Найти: \(V_{отс}\) Решение: Объем пирамиды вычисляется по формуле: \[V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h\] У отсеченной пирамиды высота \(h\) такая же, как у исходной. Основанием является треугольник, образованный средней линией. Площадь такого треугольника в 4 раза меньше площади исходного основания, так как коэффициент подобия \(k = \frac{1}{2}\), а площади относятся как \(k^2\). \[S_{отс} = \frac{1}{4} S_{осн}\] \[V_{отс} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{4} V_{пир}\] \[V_{отс} = \frac{88}{4} = 22\] Ответ: 22. Задача 3. Дано: Правильная шестиугольная призма. \(S_{осн} = 10\), \(h = 15\). Вершины искомого многогранника: \(A, B, F, A_1, B_1, F_1\). Найти: \(V\) Решение: Искомый многогранник — это прямая призма, основанием которой является треугольник \(ABF\). Площадь правильного шестиугольника состоит из 6 равных правильных треугольников. Площадь треугольника \(ABF\) составляет \(\frac{1}{6}\) от площади шестиугольника. \[S_{ABF} = \frac{1}{6} S_{осн} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}\] Объем призмы \(ABFA_1B_1F_1\): \[V = S_{ABF} \cdot h = \frac{5}{3} \cdot 15 = 5 \cdot 5 = 25\] Ответ: 25. Задача 4. Дано: \(V_1 = 2800\) см\(^3\), \(h_1 = 16\) см. Уровень поднялся на \(\Delta h = 11\) см. Найти: \(V_{дет}\) Решение: Объем детали равен объему вытесненной жидкости. Так как сосуд цилиндрический, объем прямо пропорционален высоте столба жидкости. \[\frac{V_{дет}}{V_1} = \frac{\Delta h}{h_1}\] \[V_{дет} = \frac{V_1 \cdot \Delta h}{h_1}\] \[V_{дет} = \frac{2800 \cdot 11}{16} = 175 \cdot 11 = 1925\] Ответ: 1925. Задача 5. Дано: Конус и цилиндр имеют общее основание и высоту. \(V_{кон} = 36\). Найти: \(V_{цил}\) Решение: Формулы объемов: \[V_{цил} = S_{осн} \cdot h\] \[V_{кон} = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h\] Отсюда видно, что объем цилиндра в 3 раза больше объема конуса при одинаковых основаниях и высотах. \[V_{цил} = 3 \cdot V_{кон}\] \[V_{цил} = 3 \cdot 36 = 108\] Ответ: 108.