Решение задач по геометрии: пирамида и цилиндр

Задача 1. Дано: правильная четырехугольная пирамида, высота \( H = 2 \), боковое ребро \( L = 4 \). Найти: \( V \). Решение: 1) Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковым ребром и половиной диагонали основания \( d/2 \). По теореме Пифагора: \[ (d/2)^2 = L^2 - H^2 = 4^2 - 2^2 = 16 - 4 = 12 \] \[ d/2 = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \Rightarrow d = 4\sqrt{3} \] 2) Площадь квадрата (основания) через диагональ: \[ S_{осн} = \frac{d^2}{2} = \frac{(4\sqrt{3})^2}{2} = \frac{16 \cdot 3}{2} = 24 \] 3) Объем пирамиды: \[ V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot 2 = 16 \] Ответ: 16. Задача 2. Дано: цилиндр вписан в параллелепипед, \( r = 2 \), \( h = 2 \). Найти: \( V_{пар} \). Решение: Так как цилиндр вписан в прямоугольный параллелепипед, то в основании параллелепипеда лежит квадрат со стороной \( a = 2r = 4 \). Высота параллелепипеда равна высоте цилиндра \( H = h = 2 \). \[ V = a^2 \cdot H = 4^2 \cdot 2 = 16 \cdot 2 = 32 \] Ответ: 32. Задача 3. Дано: правильная призма \( ABCA_1B_1C_1 \), \( S_{осн} = 4 \), \( H = 9 \). Найти: объем пирамиды \( CA_1B_1C_1 \). Решение: Искомый многогранник — это треугольная пирамида с вершиной \( C \) и основанием \( A_1B_1C_1 \). Площадь основания этой пирамиды равна площади основания призмы \( S = 4 \), а высота пирамиды равна высоте призмы \( H = 9 \). \[ V_{пир} = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 4 \cdot 9 = 12 \] Ответ: 12. Задача 4. Дано: \( h_{ж} = \frac{2}{3} H_{сос} \), \( V_{ж} = 144 \) мл. Найти: \( V_{долить} \). Решение: 1) Объем конуса пропорционален кубу его высоты. Отношение объемов: \[ \frac{V_{ж}}{V_{сос}} = \left( \frac{h_{ж}}{H_{сос}} \right)^3 = \left( \frac{2}{3} \right)^3 = \frac{8}{27} \] 2) Найдем полный объем сосуда: \[ V_{сос} = \frac{27}{8} V_{ж} = \frac{27}{8} \cdot 144 = 27 \cdot 18 = 486 \text{ мл} \] 3) Нужно долить: \[ V_{долить} = V_{сос} - V_{ж} = 486 - 144 = 342 \text{ мл} \] Ответ: 342. Задача 5. Дано: \( V_{SABCD} = 124 \), \( E \) — середина \( SB \). Найти: \( V_{EABC} \). Решение: 1) Объем пирамиды \( SABC \) составляет половину объема \( SABCD \), так как основание \( ABC \) — это половина квадрата \( ABCD \). \[ V_{SABC} = \frac{1}{2} \cdot 124 = 62 \] 2) Пирамиды \( EABC \) и \( SABC \) имеют общее основание \( ABC \). Высота пирамиды \( EABC \), опущенная из точки \( E \), в 2 раза меньше высоты пирамиды \( SABC \), так как \( E \) — середина ребра. \[ V_{EABC} = \frac{1}{2} V_{SABC} = \frac{1}{2} \cdot 62 = 31 \] Ответ: 31. Профиль (Полное оформление) Дано: \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) — куб; \( a = 2 \) (ребро куба); \( (CB_1D_1) \) — плоскость. Найти: \( \rho(A, (CB_1D_1)) \) — расстояние от точки \( A \) до плоскости. Решение: 1) Заметим, что плоскость \( CB_1D_1 \) проходит через диагонали граней куба. Стороны треугольника \( CB_1D_1 \) равны \( 2\sqrt{2} \), это правильный треугольник. 2) Введем систему координат с началом в точке \( D(0,0,0) \). Тогда оси \( x, y, z \) направлены вдоль \( DA, DC, DD_1 \). Координаты точек: \( A(2,0,0) \), \( C(0,2,0) \), \( B_1(2,2,2) \), \( D_1(0,0,2) \). 3) Составим уравнение плоскости \( CB_1D_1 \) по трем точкам: \[ \begin{vmatrix} x-0 & y-2 & z-0 \\ 2-0 & 2-2 & 2-0 \\ 0-0 & 0-2 & 2-0 \end{vmatrix} = 0 \Rightarrow \begin{vmatrix} x & y-2 & z \\ 2 & 0 & 2 \\ 0 & -2 & 2 \end{vmatrix} = 0 \] \[ x(0 - (-4)) - (y-2)(4 - 0) + z(-4 - 0) = 0 \] \[ 4x - 4y + 8 - 4z = 0 \Rightarrow x - y - z + 2 = 0 \] 4) Расстояние от точки \( A(2,0,0) \) до плоскости \( x - y - z + 2 = 0 \) вычисляется по формуле: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \] \[ d = \frac{|1 \cdot 2 - 1 \cdot 0 - 1 \cdot 0 + 2|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \] Ответ: \( \frac{4\sqrt{3}}{3} \).