Задача 6.
По данным на рисунке найдите площадь параллелограмма \(ABCD\).
Решение:
1. Вспомним формулу для нахождения площади параллелограмма. Площадь параллелограмма можно найти по формуле: \(S = a \cdot h\), где \(a\) - длина стороны, а \(h\) - высота, опущенная на эту сторону. Также площадь параллелограмма можно найти по формуле: \(S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)\), где \(a\) и \(b\) - длины смежных сторон, а \(\alpha\) - угол между ними.
2. Рассмотрим параллелограмм \(ABCD\). Нам даны длины двух смежных сторон: \(AB = 8\) и \(AD = 10\). Также дан угол между стороной \(AB\) и высотой \(BM\), опущенной на продолжение стороны \(AD\). Угол \(\angle BAM = 60^\circ\).
3. Найдем высоту \(BM\). Рассмотрим прямоугольный треугольник \(AMB\). В этом треугольнике гипотенуза \(AB = 8\), а угол \(\angle BAM = 60^\circ\). Высота \(BM\) является катетом, противолежащим углу \(60^\circ\).
4. Используем определение синуса в прямоугольном треугольнике: \(\sin(\angle BAM) = \frac{BM}{AB}\).
5. Подставим известные значения: \(\sin(60^\circ) = \frac{BM}{8}\).
6. Известно, что \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
7. Тогда \(\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{BM}{8}\).
8. Выразим \(BM\): \(BM = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\).
9. Теперь, когда мы знаем высоту \(BM\) и сторону \(AD\), на которую эта высота опущена (или на её продолжение), мы можем найти площадь параллелограмма. Сторона \(AD = 10\).
10. Площадь параллелограмма \(ABCD\) равна \(S = AD \cdot BM\).
11. Подставим значения: \(S = 10 \cdot 4\sqrt{3} = 40\sqrt{3}\).
Ответ: Площадь параллелограмма \(ABCD\) равна \(40\sqrt{3}\).
Задача 7.
По данным на рисунке найдите площадь параллелограмма \(ABCD\).
Решение:
1. Вспомним формулу для нахождения площади параллелограмма: \(S = a \cdot h\), где \(a\) - длина стороны, а \(h\) - высота, опущенная на эту сторону.
2. Рассмотрим параллелограмм \(ABCD\). На рисунке показана высота \(BK\), опущенная из вершины \(B\) на сторону \(AD\). Точка \(K\) лежит на стороне \(AD\).
3. Нам даны отрезки \(AK = 8\) и \(KD = 24\). Длина стороны \(AD\) равна сумме этих отрезков: \(AD = AK + KD = 8 + 24 = 32\).
4. Также нам дан угол \(\angle ABK = 45^\circ\). Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABK\). В этом треугольнике угол \(\angle AKB = 90^\circ\).
5. Сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\). Значит, \(\angle BAK = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\).
6. Поскольку углы \(\angle ABK\) и \(\angle BAK\) равны \(45^\circ\), треугольник \(ABK\) является равнобедренным. Следовательно, катеты \(AK\) и \(BK\) равны.
7. Мы знаем, что \(AK = 8\), значит, высота \(BK = 8\).
8. Теперь у нас есть длина стороны \(AD = 32\) и высота \(BK = 8\), опущенная на эту сторону.
9. Найдем площадь параллелограмма \(ABCD\) по формуле \(S = AD \cdot BK\).
10. Подставим значения: \(S = 32 \cdot 8\).
11. Выполним умножение: \(32 \cdot 8 = 256\).
Ответ: Площадь параллелограмма \(ABCD\) равна \(256\).