Решение системы уравнений двумя способами: алгебра

Решим систему уравнений двумя способами. Система уравнений: \[ \begin{cases} 6x - 10y = 11 \\ 5y + 7x = 19 \end{cases} \] Для удобства, перепишем второе уравнение так, чтобы переменные были в том же порядке, что и в первом уравнении: \[ \begin{cases} 6x - 10y = 11 \\ 7x + 5y = 19 \end{cases} \]

Способ 1: Метод подстановки

1. Выразим одну переменную через другую из одного из уравнений. Давайте выразим \(y\) из второго уравнения. \[ 7x + 5y = 19 \] \[ 5y = 19 - 7x \] \[ y = \frac{19 - 7x}{5} \] 2. Подставим это выражение для \(y\) в первое уравнение. \[ 6x - 10 \left( \frac{19 - 7x}{5} \right) = 11 \] 3. Упростим и решим уравнение относительно \(x\). Заметим, что \(10\) делится на \(5\): \[ 6x - 2(19 - 7x) = 11 \] Раскроем скобки: \[ 6x - 38 + 14x = 11 \] Соберем члены с \(x\) и свободные члены: \[ (6x + 14x) - 38 = 11 \] \[ 20x - 38 = 11 \] Перенесем \( -38 \) в правую часть: \[ 20x = 11 + 38 \] \[ 20x = 49 \] Найдем \(x\): \[ x = \frac{49}{20} \] \[ x = 2.45 \] 4. Теперь подставим найденное значение \(x\) в выражение для \(y\). \[ y = \frac{19 - 7x}{5} \] \[ y = \frac{19 - 7 \cdot \frac{49}{20}}{5} \] \[ y = \frac{19 - \frac{343}{20}}{5} \] Приведем \(19\) к общему знаменателю \(20\): \[ 19 = \frac{19 \cdot 20}{20} = \frac{380}{20} \] \[ y = \frac{\frac{380}{20} - \frac{343}{20}}{5} \] \[ y = \frac{\frac{380 - 343}{20}}{5} \] \[ y = \frac{\frac{37}{20}}{5} \] \[ y = \frac{37}{20 \cdot 5} \] \[ y = \frac{37}{100} \] \[ y = 0.37 \] Ответ: \(x = 2.45\), \(y = 0.37\).

Способ 2: Метод сложения (или алгебраического сложения)

1. Цель метода сложения — сделать так, чтобы коэффициенты при одной из переменных были противоположными числами. Наша система: \[ \begin{cases} 6x - 10y = 11 \\ 7x + 5y = 19 \end{cases} \] Заметим, что в первом уравнении есть \( -10y \), а во втором \( +5y \). Если мы умножим второе уравнение на \(2\), то получим \( +10y \), и при сложении \(y\) сократится. 2. Умножим второе уравнение на \(2\): \[ 2 \cdot (7x + 5y) = 2 \cdot 19 \] \[ 14x + 10y = 38 \] 3. Теперь у нас новая система: \[ \begin{cases} 6x - 10y = 11 \\ 14x + 10y = 38 \end{cases} \] 4. Сложим первое уравнение с новым вторым уравнением: \[ (6x - 10y) + (14x + 10y) = 11 + 38 \] \[ 6x - 10y + 14x + 10y = 49 \] \[ (6x + 14x) + (-10y + 10y) = 49 \] \[ 20x + 0y = 49 \] \[ 20x = 49 \] 5. Найдем \(x\): \[ x = \frac{49}{20} \] \[ x = 2.45 \] 6. Подставим найденное значение \(x\) в любое из исходных уравнений, например, во второе: \[ 7x + 5y = 19 \] \[ 7 \cdot \frac{49}{20} + 5y = 19 \] \[ \frac{343}{20} + 5y = 19 \] Перенесем \( \frac{343}{20} \) в правую часть: \[ 5y = 19 - \frac{343}{20} \] Приведем \(19\) к общему знаменателю \(20\): \[ 19 = \frac{19 \cdot 20}{20} = \frac{380}{20} \] \[ 5y = \frac{380}{20} - \frac{343}{20} \] \[ 5y = \frac{380 - 343}{20} \] \[ 5y = \frac{37}{20} \] Найдем \(y\): \[ y = \frac{37}{20 \cdot 5} \] \[ y = \frac{37}{100} \] \[ y = 0.37 \] Ответ: \(x = 2.45\), \(y = 0.37\). Оба способа дали одинаковый результат, что подтверждает правильность решения.