Вариант 1.
1) Решите уравнения:
а) \(x^2 - 64 = 0\)
Решение:
Это неполное квадратное уравнение вида \(ax^2 + c = 0\).
Чтобы его решить, нужно перенести число 64 в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный.
\[x^2 = 64\]
Теперь нужно извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. Помните, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения: положительное и отрицательное.
\[x = \pm\sqrt{64}\]
\[x_1 = 8\]
\[x_2 = -8\]
Ответ: \(x_1 = 8\), \(x_2 = -8\).
б) \(\frac{x}{3} - \frac{x-4}{2} = 3\)
Решение:
Это линейное уравнение с дробями. Чтобы избавиться от дробей, нужно найти наименьший общий знаменатель (НОЗ) для всех дробей в уравнении. В данном случае знаменатели 3 и 2, поэтому НОЗ будет 6.
Умножим каждое слагаемое уравнения на НОЗ, то есть на 6:
\[6 \cdot \frac{x}{3} - 6 \cdot \frac{x-4}{2} = 6 \cdot 3\]
Выполним умножение и сокращение:
\[2x - 3(x-4) = 18\]
Раскроем скобки, помня, что перед скобкой стоит знак минус, поэтому знаки слагаемых внутри скобки изменятся на противоположные:
\[2x - 3x + 12 = 18\]
Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:
\[-x + 12 = 18\]
Перенесем число 12 в правую часть уравнения, изменив его знак:
\[-x = 18 - 12\]
\[-x = 6\]
Чтобы найти \(x\), умножим обе части уравнения на -1:
\[x = -6\]
Ответ: \(x = -6\).
2) Решите биквадратное уравнение:
\[x^4 - 20x^2 + 64 = 0\]
Решение:
Это биквадратное уравнение. Для его решения введем замену переменной. Пусть \(y = x^2\). Тогда \(x^4 = (x^2)^2 = y^2\).
Подставим \(y\) в исходное уравнение:
\[y^2 - 20y + 64 = 0\]
Мы получили квадратное уравнение относительно \(y\). Решим его с помощью дискриминанта.
Формула дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac\)
В нашем уравнении \(a = 1\), \(b = -20\), \(c = 64\).
\[D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 64\]
\[D = 400 - 256\]
\[D = 144\]
Так как \(D > 0\), уравнение имеет два действительных корня.
Формула для корней квадратного уравнения: \(y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)
\[y_1 = \frac{-(-20) + \sqrt{144}}{2 \cdot 1}\]
\[y_1 = \frac{20 + 12}{2}\]
\[y_1 = \frac{32}{2}\]
\[y_1 = 16\]
\[y_2 = \frac{-(-20) - \sqrt{144}}{2 \cdot 1}\]
\[y_2 = \frac{20 - 12}{2}\]
\[y_2 = \frac{8}{2}\]
\[y_2 = 4\]
Теперь вернемся к замене переменной \(y = x^2\).
Для \(y_1 = 16\):
\[x^2 = 16\]
\[x = \pm\sqrt{16}\]
\[x_1 = 4\]
\[x_2 = -4\]
Для \(y_2 = 4\):
\[x^2 = 4\]
\[x = \pm\sqrt{4}\]
\[x_3 = 2\]
\[x_4 = -2\]
Ответ: \(x_1 = 4\), \(x_2 = -4\), \(x_3 = 2\), \(x_4 = -2\).