Хорошо, давайте решим эти квадратные уравнения с помощью дискриминанта.
Название: Алгебра
Тема: Решение квадратных уравнений с помощью дискриминанта
Общая формула для решения квадратных уравнений
Квадратное уравнение имеет вид:
\[ax^2 + bx + c = 0\]
где \(a\), \(b\), \(c\) — это коэффициенты, а \(x\) — переменная.
Для нахождения корней квадратного уравнения мы используем дискриминант \(D\).
Формула дискриминанта:
\[D = b^2 - 4ac\]
В зависимости от значения дискриминанта, уравнение может иметь:
- Если \(D > 0\), то уравнение имеет два различных действительных корня:
\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]
- Если \(D = 0\), то уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих корня):
\[x = \frac{-b}{2a}\]
- Если \(D < 0\), то уравнение не имеет действительных корней.
Решение задач
Задача 1
Уравнение: \(x^2 + 7x - 18 = 0\)
1. Определим коэффициенты \(a\), \(b\), \(c\):
В данном уравнении:
\(a = 1\)
\(b = 7\)
\(c = -18\)
2. Вычислим дискриминант \(D\):
\[D = b^2 - 4ac\]
\[D = (7)^2 - 4 \cdot (1) \cdot (-18)\]
\[D = 49 - (-72)\]
\[D = 49 + 72\]
\[D = 121\]
3. Так как \(D = 121 > 0\), уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их:
\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]
\[x_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 1}\]
\[x_{1,2} = \frac{-7 \pm 11}{2}\]
Найдем первый корень \(x_1\):
\[x_1 = \frac{-7 + 11}{2} = \frac{4}{2} = 2\]
Найдем второй корень \(x_2\):
\[x_2 = \frac{-7 - 11}{2} = \frac{-18}{2} = -9\]
Ответ: Корни уравнения \(x^2 + 7x - 18 = 0\) это \(x_1 = 2\) и \(x_2 = -9\).
Задача 2
Уравнение: \(x^2 + 4 = 5x\)
1. Сначала приведем уравнение к стандартному виду \(ax^2 + bx + c = 0\). Для этого перенесем \(5x\) в левую часть уравнения с противоположным знаком:
\[x^2 - 5x + 4 = 0\]
2. Определим коэффициенты \(a\), \(b\), \(c\):
В данном уравнении:
\(a = 1\)
\(b = -5\)
\(c = 4\)
3. Вычислим дискриминант \(D\):
\[D = b^2 - 4ac\]
\[D = (-5)^2 - 4 \cdot (1) \cdot (4)\]
\[D = 25 - 16\]
\[D = 9\]
4. Так как \(D = 9 > 0\), уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их:
\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]
\[x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1}\]
\[x_{1,2} = \frac{5 \pm 3}{2}\]
Найдем первый корень \(x_1\):
\[x_1 = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4\]
Найдем второй корень \(x_2\):
\[x_2 = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1\]
Ответ: Корни уравнения \(x^2 + 4 = 5x\) это \(x_1 = 4\) и \(x_2 = 1\).
Задача 3
Уравнение: \(4x^2 - 24x = 0\)
1. Определим коэффициенты \(a\), \(b\), \(c\):
В данном уравнении:
\(a = 4\)
\(b = -24\)
\(c = 0\) (так как свободного члена нет, он равен нулю)
2. Вычислим дискриминант \(D\):
\[D = b^2 - 4ac\]
\[D = (-24)^2 - 4 \cdot (4) \cdot (0)\]
\[D = 576 - 0\]
\[D = 576\]
3. Так как \(D = 576 > 0\), уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их:
\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]
\[x_{1,2} = \frac{-(-24) \pm \sqrt{576}}{2 \cdot 4}\]
\[x_{1,2} = \frac{24 \pm 24}{8}\]
Найдем первый корень \(x_1\):
\[x_1 = \frac{24 + 24}{8} = \frac{48}{8} = 6\]
Найдем второй корень \(x_2\):
\[x_2 = \frac{24 - 24}{8} = \frac{0}{8} = 0\]
Ответ: Корни уравнения \(4x^2 - 24x = 0\) это \(x_1 = 6\) и \(x_2 = 0\).
(Примечание: Это уравнение также можно было решить вынесением общего множителя за скобки: \(4x(x - 6) = 0\). Отсюда \(4x = 0\) или \(x - 6 = 0\), что дает \(x = 0\) и \(x = 6\). Результаты совпадают.)
