Решение задачи: построение точки пересечения прямой MN с плоскостью ABC

Задача 4

Точки M и N принадлежат соответственно граням SAB и SBC пирамиды SABC (рис. 4). Постройте точку пересечения прямой MN с плоскостью ABC.

Решение:

Для построения точки пересечения прямой MN с плоскостью ABC, воспользуемся методом вспомогательной плоскости.

1. Проведем вспомогательную плоскость через прямую MN. Удобнее всего выбрать плоскость, проходящую через одну из вершин пирамиды и прямую MN. Пусть это будет плоскость, проходящая через вершину S и прямую MN. То есть, плоскость (SMN).
2. Найдем линию пересечения вспомогательной плоскости (SMN) с плоскостью основания ABC. Для этого нам нужно найти две точки, принадлежащие обеим плоскостям.
3. Прямая SM лежит в плоскости (SAB). Точка M лежит на грани SAB. Прямая SN лежит в плоскости (SBC). Точка N лежит на грани SBC.
4. Рассмотрим прямую SM. Она пересекает плоскость ABC в точке A.
5. Рассмотрим прямую SN. Она пересекает плоскость ABC в точке C.
6. Таким образом, линия пересечения плоскости (SMN) с плоскостью ABC - это прямая AC.
7. Теперь найдем точку пересечения прямой MN с прямой AC. Эта точка и будет искомой точкой пересечения прямой MN с плоскостью ABC.

Построение на чертеже:

1. Проведем прямую SM до пересечения с прямой AB в точке A. (На самом деле, M лежит в плоскости SAB, поэтому прямая SM уже лежит в этой плоскости. Для нахождения точки пересечения прямой MN с плоскостью ABC, нам нужно найти точки, где прямая MN "прокалывает" плоскость ABC. Для этого мы можем спроецировать прямую MN на плоскость ABC).
2. Более простой способ:
   • Проведем прямую SM. Она лежит в плоскости SAB.
   • Проведем прямую SN. Она лежит в плоскости SBC.
   • Прямая MN лежит в плоскости SMN.
   • Найдем точку пересечения прямой SM с плоскостью ABC. Это точка A.
   • Найдем точку пересечения прямой SN с плоскостью ABC. Это точка C.
   • Прямая AC является линией пересечения плоскости SMN с плоскостью ABC.
   • Продлим прямую MN до пересечения с прямой AC. Точка их пересечения P будет искомой точкой.

К сожалению, я не могу генерировать изображения. Но я могу описать, как это будет выглядеть на чертеже:

На рисунке 4, где изображена пирамида SABC:

1. Соедините точки S и M.
2. Соедините точки S и N.
3. Проведите прямую MN.
4. Продлите прямую SM до пересечения с прямой AB (если M находится на ребре SA или SB, то SM уже лежит в плоскости SAB). Если M - произвольная точка грани SAB, то для построения прямой SM, которая пересекает плоскость ABC, нужно найти проекцию M на плоскость ABC.
5. Давайте используем другой подход, который более универсален для произвольных точек M и N.
   • Точка M лежит в грани SAB. Проведем прямую BM. Она пересечет ребро SA в некоторой точке (или продолжение SA).
   • Точка N лежит в грани SBC. Проведем прямую BN. Она пересечет ребро SC в некоторой точке (или продолжение SC).
   • Это не совсем то. Нам нужна вспомогательная плоскость, содержащая MN.

Правильный подход:

1. Построим вспомогательную плоскость, содержащую прямую MN. Пусть это будет плоскость, проходящая через вершину S и прямую MN. То есть, плоскость (SMN).
2. Найдем линию пересечения плоскости (SMN) с плоскостью основания ABC.
   • Прямая SM лежит в плоскости (SAB). Точка M лежит в грани SAB. Продлим прямую SM до пересечения с прямой AB. Пусть это будет точка P1. (Если M лежит на ребре SA или SB, то P1 будет A или B соответственно).
   • Прямая SN лежит в плоскости (SBC). Точка N лежит в грани SBC. Продлим прямую SN до пересечения с прямой BC. Пусть это будет точка P2. (Если N лежит на ребре SB или SC, то P2 будет B или C соответственно).
   • Прямая P1P2 является линией пересечения плоскости (SMN) с плоскостью ABC.
3. Продлим прямую MN до пересечения с прямой P1P2. Точка их пересечения будет искомой точкой пересечения прямой MN с плоскостью ABC.

На чертеже:

1. Соедините S и M. Продлите SM до пересечения с прямой AB (или ее продолжением). Обозначьте эту точку как X.
2. Соедините S и N. Продлите SN до пересечения с прямой BC (или ее продолжением). Обозначьте эту точку как Y.
3. Проведите прямую XY. Эта прямая лежит в плоскости ABC.
4. Продлите прямую MN до пересечения с прямой XY. Точка их пересечения Z будет искомой точкой.

Задача 5

Постройте сечение тетраэдра, проходящее через заданные точки. F \(\in\) (ABC).

На изображении тетраэдр обозначен как DABC. Заданы точки K на ребре DA, E на ребре DC и F в плоскости основания ABC.

Решение:

Для построения сечения тетраэдра, проходящего через три заданные точки, нужно последовательно соединять эти точки, если они лежат в одной грани, или использовать вспомогательные построения, если они лежат в разных гранях.

1. Точки K и E лежат в одной грани ADC. Соединим их отрезком KE. Это будет одна из сторон сечения.
2. Точка F лежит в плоскости ABC. Точка K лежит в грани DAB. Точка E лежит в грани DBC.
3. Найдем линию пересечения плоскости сечения (KEF) с плоскостью основания ABC.
   • Прямая KE лежит в плоскости ADC. Продлим прямую KE до пересечения с прямой AC (линией, лежащей в плоскости ABC). Пусть точка пересечения будет P.
   • Теперь у нас есть две точки P и F, которые лежат в плоскости ABC и принадлежат плоскости сечения. Соединим их прямой PF. Это будет линия пересечения плоскости сечения с плоскостью ABC.
4. Найдем точки пересечения прямой PF с ребрами основания AB и BC.
   • Прямая PF пересекает ребро AB в некоторой точке (или его продолжение). Пусть это будет точка Q.
   • Прямая PF пересекает ребро BC в некоторой точке (или его продолжение). Пусть это будет точка R.
5. Теперь у нас есть точки:
   • K на DA
   • E на DC
   • Q на AB (если PF пересекает AB)
   • R на BC (если PF пересекает BC)
6. Соединим точки, лежащие в одной грани:
   • KE (уже сделано, в грани ADC)
   • KQ (в грани DAB)
   • ER (в грани DBC)
   • QR (в грани ABC)

Построение на чертеже:

1. Соедините точки K и E.
2. Продлите прямую KE до пересечения с прямой AC. Обозначьте эту точку как P.
3. Соедините точку P с точкой F. Прямая PF является линией пересечения плоскости сечения с плоскостью ABC.
4. Прямая PF пересекает ребро AB в точке Q. (Если F находится внутри треугольника ABC, то PF может пересечь AB и BC).
5. Прямая PF пересекает ребро BC в точке R.
6. Соедините K с Q.
7. Соедините E с R.
8. Соедините Q с R.

Многоугольник KQRE является искомым сечением. Если прямая PF не пересекает ребра AB и BC, а пересекает их продолжения, то сечение будет иметь другие точки на ребрах. Например, если F находится вне треугольника ABC, то прямая PF может пересечь только одно ребро или ни одного. В этом случае нужно будет искать другие точки пересечения плоскости сечения с гранями тетраэдра.

В данном случае, F находится внутри треугольника ABC, поэтому прямая PF, скорее всего, пересечет ребра AB и BC. Если F находится на стороне AB, то Q совпадет с F. Если F находится на стороне BC, то R совпадет с F.

На рисунке F находится внутри треугольника ABC. Поэтому:

1. Соединяем K и E.
2. Продлеваем KE до пересечения с прямой AC в точке P.
3. Соединяем P и F.
4. Прямая PF пересекает AB в точке Q.
5. Прямая PF пересекает BC в точке R.
6. Соединяем K и Q.
7. Соединяем E и R.
8. Соединяем Q и R.

Сечение - четырехугольник KQRE.