Задача 8. Три команды набрали на олимпиаде 285 баллов. Если бы команда 4 «Б» набрала на 8 баллов меньше, команда 4 «В» на 12 баллов меньше, а команда 4 «А» на 7 баллов меньше, то все они набрали бы равное количество баллов. Сколько баллов набрали ученики 4 «Б» класса?
Решение:
Пусть:
- \(Б\) — количество баллов, набранных командой 4 «Б».
- \(В\) — количество баллов, набранных командой 4 «В».
- \(А\) — количество баллов, набранных командой 4 «А».
Из условия задачи мы знаем, что общее количество баллов, набранных всеми тремя командами, равно 285. Запишем это как уравнение:
\[Б + В + А = 285\]Далее, нам сказано, что если бы команды набрали меньше баллов, то у всех было бы равное количество. Обозначим это равное количество баллов как \(x\).
- Команда 4 «Б» набрала бы на 8 баллов меньше: \(Б - 8 = x\).
- Команда 4 «В» набрала бы на 12 баллов меньше: \(В - 12 = x\).
- Команда 4 «А» набрала бы на 7 баллов меньше: \(А - 7 = x\).
Из этих уравнений мы можем выразить первоначальное количество баллов каждой команды через \(x\):
- \(Б = x + 8\)
- \(В = x + 12\)
- \(А = x + 7\)
Теперь подставим эти выражения в первое уравнение \(Б + В + А = 285\):
\[(x + 8) + (x + 12) + (x + 7) = 285\]Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:
\[x + 8 + x + 12 + x + 7 = 285\] \[(x + x + x) + (8 + 12 + 7) = 285\] \[3x + 27 = 285\]Теперь решим это уравнение относительно \(x\). Сначала вычтем 27 из обеих частей уравнения:
\[3x = 285 - 27\] \[3x = 258\]Затем разделим обе части уравнения на 3, чтобы найти \(x\):
\[x = \frac{258}{3}\] \[x = 86\]Мы нашли, что \(x = 86\) баллов — это то количество, которое было бы у каждой команды, если бы они набрали меньше баллов.
Нам нужно узнать, сколько баллов набрали ученики 4 «Б» класса. Мы знаем, что \(Б = x + 8\).
Подставим значение \(x = 86\):
\[Б = 86 + 8\] \[Б = 94\]Итак, команда 4 «Б» набрала 94 балла.
Для проверки можно найти баллы других команд:
- Команда 4 «В»: \(В = x + 12 = 86 + 12 = 98\) баллов.
- Команда 4 «А»: \(А = x + 7 = 86 + 7 = 93\) балла.
Проверим сумму баллов:
\[94 + 98 + 93 = 192 + 93 = 285\]Сумма совпадает с условием задачи.
Ответ: Ученики 4 «Б» класса набрали 94 балла.