Решить графически уравнения:
а) \(2^x = x + 2\)
Для решения этого уравнения построим графики двух функций:
1. \(y = 2^x\) (показательная функция)
2. \(y = x + 2\) (линейная функция)
Таблица значений для \(y = 2^x\):
| \(x\) | \(y = 2^x\) |
| -2 | \(2^{-2} = 1/4 = 0.25\) |
| -1 | \(2^{-1} = 1/2 = 0.5\) |
| 0 | \(2^0 = 1\) |
| 1 | \(2^1 = 2\) |
| 2 | \(2^2 = 4\) |
| 3 | \(2^3 = 8\) |
Таблица значений для \(y = x + 2\):
| \(x\) | \(y = x + 2\) |
| -2 | \(-2 + 2 = 0\) |
| -1 | \(-1 + 2 = 1\) |
| 0 | \(0 + 2 = 2\) |
| 1 | \(1 + 2 = 3\) |
| 2 | \(2 + 2 = 4\) |
Построим эти графики на одной координатной плоскости. (Здесь должен быть график. Поскольку я не могу рисовать графики, я опишу результат.)
При построении графиков мы увидим, что они пересекаются в двух точках. Приблизительные абсциссы точек пересечения:
1. \(x_1 \approx -1.9\) (или точнее \(x_1 = -2\), так как \(2^{-2} = 0.25\) и \(-2+2=0\), это не точка пересечения. Давайте перепроверим. \(2^{-1.9} \approx 0.26\), \(-1.9+2 = 0.1\). \(2^{-1} = 0.5\), \(-1+2=1\). \(2^0=1\), \(0+2=2\). \(2^1=2\), \(1+2=3\). \(2^2=4\), \(2+2=4\).)
Точки пересечения: Одна точка пересечения находится при \(x = 2\), так как \(2^2 = 4\) и \(2 + 2 = 4\). Вторая точка пересечения находится между \(x = -2\) и \(x = -1\). При \(x = -2\), \(2^{-2} = 0.25\), \(-2+2 = 0\). При \(x = -1\), \(2^{-1} = 0.5\), \(-1+2 = 1\). График \(y=2^x\) растет, а \(y=x+2\) тоже растет, но медленнее. При \(x=0\), \(y=1\) и \(y=2\). При \(x=-1\), \(y=0.5\) и \(y=1\). При \(x=-2\), \(y=0.25\) и \(y=0\). Значит, вторая точка пересечения находится между \(x=-2\) и \(x=-1\). Приблизительно \(x_2 \approx -1.9\).
Ответ: \(x_1 = 2\), \(x_2 \approx -1.9\).
б) \(3^x = 3x\)
Построим графики функций:
1. \(y = 3^x\) (показательная функция)
2. \(y = 3x\) (линейная функция)
Таблица значений для \(y = 3^x\):
| \(x\) | \(y = 3^x\) |
| -2 | \(3^{-2} = 1/9 \approx 0.11\) |
| -1 | \(3^{-1} = 1/3 \approx 0.33\) |
| 0 | \(3^0 = 1\) |
| 1 | \(3^1 = 3\) |
| 2 | \(3^2 = 9\) |
Таблица значений для \(y = 3x\):
| \(x\) | \(y = 3x\) |
| -2 | \(3 \cdot (-2) = -6\) |
| -1 | \(3 \cdot (-1) = -3\) |
| 0 | \(3 \cdot 0 = 0\) |
| 1 | \(3 \cdot 1 = 3\) |
| 2 | \(3 \cdot 2 = 6\) |
Построим эти графики на одной координатной плоскости. (Здесь должен быть график.)
При построении графиков мы увидим, что они пересекаются в двух точках.
Одна точка пересечения находится при \(x = 1\), так как \(3^1 = 3\) и \(3 \cdot 1 = 3\). Вторая точка пересечения находится между \(x = 0\) и \(x = 1\). При \(x = 0\), \(y = 1\) и \(y = 0\). При \(x = 0.5\), \(3^{0.5} = \sqrt{3} \approx 1.73\), \(3 \cdot 0.5 = 1.5\). При \(x = 0.3\), \(3^{0.3} \approx 1.39\), \(3 \cdot 0.3 = 0.9\). При \(x = 0.4\), \(3^{0.4} \approx 1.55\), \(3 \cdot 0.4 = 1.2\). При \(x = 0.5\), \(3^{0.5} \approx 1.73\), \(3 \cdot 0.5 = 1.5\). Значит, вторая точка пересечения находится между \(x=0.3\) и \(x=0.5\). Приблизительно \(x_2 \approx 0.4\).
Ответ: \(x_1 = 1\), \(x_2 \approx 0.4\).
в) \(2^x = x^2\)
Построим графики функций:
1. \(y = 2^x\) (показательная функция)
2. \(y = x^2\) (парабола)
Таблица значений для \(y = 2^x\):
| \(x\) | \(y = 2^x\) |
| -2 | \(0.25\) |
| -1 | \(0.5\) |
| 0 | \(1\) |
| 1 | \(2\) |
| 2 | \(4\) |
| 3 | \(8\) |
| 4 | \(16\) |
Таблица значений для \(y = x^2\):
| \(x\) | \(y = x^2\) |
| -2 | \(4\) |
| -1 | \(1\) |
| 0 | \(0\) |
| 1 | \(1\) |
| 2 | \(4\) |
| 3 | \(9\) |
| 4 | \(16\) |
Построим эти графики на одной координатной плоскости. (Здесь должен быть график.)
При построении графиков мы увидим, что они пересекаются в трех точках.
1. Одна точка пересечения находится при \(x = 2\), так как \(2^2 = 4\) и \(2^2 = 4\). 2. Вторая точка пересечения находится при \(x = 4\), так как \(2^4 = 16\) и \(4^2 = 16\). 3. Третья точка пересечения находится между \(x = -1\) и \(x = 0\). При \(x = -1\), \(y = 0.5\) и \(y = 1\). При \(x = 0\), \(y = 1\) и \(y = 0\). Значит, точка пересечения находится между \(x = -1\) и \(x = 0\). Приблизительно \(x_3 \approx -0.76\).
Ответ: \(x_1 = 2\), \(x_2 = 4\), \(x_3 \approx -0.76\).
г) \(5^x = 5/x\)
Построим графики функций:
1. \(y = 5^x\) (показательная функция)
2. \(y = 5/x\) (гипербола)
Таблица значений для \(y = 5^x\):
| \(x\) | \(y = 5^x\) |
| -2 | \(5^{-2} = 1/25 = 0.04\) |
| -1 | \(5^{-1} = 1/5 = 0.2\) |
| 0 | \(5^0 = 1\) |
| 1 | \(5^1 = 5\) |
| 2 | \(5^2 = 25\) |
Таблица значений для \(y = 5/x\):
| \(x\) | \(y = 5/x\) |
| -5 | \(-1\) |
| -1 | \(-5\) |
| -0.5 | \(-10\) |
| 0.5 | \(10\) |
| 1 | \(5\) |
| 2 | \(2.5\) |
| 5 | \(1\) |
Построим эти графики на одной координатной плоскости. (Здесь должен быть график.)
При построении графиков мы увидим, что они пересекаются в одной точке.
Одна точка пересечения находится при \(x = 1\), так как \(5^1 = 5\) и \(5/1 = 5\).
Ответ: \(x = 1\).
д) \((1/4)^x = -4/x\)
Построим графики функций:
1. \(y = (1/4)^x\) (показательная функция, убывающая)
2. \(y = -4/x\) (гипербола)
Таблица значений для \(y = (1/4)^x\):
| \(x\) | \(y = (1/4)^x\) |
| -2 | \((1/4)^{-2} = 4^2 = 16\) |
| -1 | \((1/4)^{-1} = 4\) |
| 0 | \((1/4)^0 = 1\) |
| 1 | \((1/4)^1 = 0.25\) |
| 2 | \((1/4)^2 = 0.0625\) |
Таблица значений для \(y = -4/x\):
| \(x\) | \(y = -4/x\) |
| -4 | \(1\) |
| -2 | \(2\) |
| -1 | \(4\) |
| -0.5 | \(8\) |
| 0.5 | \(-8\) |
| 1 | \(-4\) |
| 2 | \(-2\) |
| 4 | \(-1\) |
Построим эти графики на одной координатной плоскости. (Здесь должен быть график.)
При построении графиков мы увидим, что они пересекаются в одной точке.
Одна точка пересечения находится при \(x = -1\), так как \((1/4)^{-1} = 4\) и \(-4/(-1) = 4\).
Ответ: \(x = -1\).